2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第25讲三角函数的图象与性质（一）

第25讲　三角函数的图象与性质(一)

1．熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值．

2．会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期．

知识梳理

1．用五点法作正弦、余弦函数的简图

(1)y＝sin x图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为：(0,0)，　(，1)　，(π，0)，　(，－1)　，(2π，0)．

(2)y＝cos x图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为：(0,1)，(，0)，　(π，－1)　，(，0)，　(2π，1)　.

2．三角函数的图象与性质 (其中k∈Z)

热身练习

1．函数f(x)＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是图中的(B)

　 由五点法知图象应经过(0,1)，(，0)，(π，1)，(，2)，(2π，1)，可知应选B.

2．函数y＝的定义域为(A)

A．{x|x≠2kπ，k∈Z}  B．{x|x≠(2k＋1)π，k∈Z}

C．{x|x≠2kπ＋，k∈Z}  D．{x|x≠2kπ＋，k∈Z}

　 由cos x≠1，得x≠2kπ，k∈Z，

故定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}．

3．当x∈[－，]时，函数y＝sin x＋cos x的值域为(D)

A．[－1,1]  B．[－，1]

C．[－2,2]  D．[－1,2]

　 y＝2sin(x＋)，－≤x＋≤，－≤sin(x＋)≤1，所以－1≤y≤2.

4．函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为　1　.

　 f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x

＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x

＝sin xcos φ－cos xsin φ

＝sin(x－φ)≤1.

所以f(x)max＝1.

5．函数y＝8cos x－2sin2x的最大值为　8　. 

　 y＝－2(1－cos2x)＋8cos x＝2cos2x＋8cos x－2，

令cos x＝t，－1≤t≤1，y＝2t2＋8t－2＝2(t＋2)2－10，

故t＝1时，ymax＝8.

 三角函数的定义域

函数y＝的定义域为____________．

由2sin x－1≥0，得sin x≥，

即＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．

故定义域为{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}．

{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}

(1)求三角函数的定义域，常转化为解三角不等式和三角方程，可借助三角函数的图象来求解．

(2)解简单三角不等式的步骤：如sin x>a.

第一步，作出y＝sin x的图象；

第二步，作直线y＝a，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y＝a上方的图象；

第三步，确定sin x＝a的x值，写出解集．

1．函数y＝的定义域为　{x|x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z}　.

由tan x－1≠0，得tan x≠1.

所以x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z，

故定义域为{x|x≠kπ＋且x≠kπ＋，k∈Z}．

 三角函数的值域或最值

求函数y＝4－3sin2x－4cos x的值域，其中x∈[－，]．

y＝4－3sin2x－4cos x＝4－3(1－cos2x)－4cos x

＝3cos2x－4cos x＋1＝3(cos x－)2－.

因为x∈[－，]，所以cos x∈[－，1]．

而∈[－，1]，所以当cos x＝时，ymin＝－.

当cos x＝－时，ymax＝3×(－)2－4×(－)＋1＝.

所以所求函数的值域为[－，]．

三角函数的值域或最值问题常考的主要有两种类型，一种是化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)，另一种是化为关于sin x，cos x或tan x的二次函数．第一种类型可利用三角函数的性质及不等式的性质求得，第二种类型可换元转化为二次函数，借助二次函数的性质求得．不管哪种类型，都要注意角的范围．

2．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝cos(2x－)－2sin xcos x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求证：当x∈[－，]时，f(x)≥－.

(1)f(x)＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x

＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，

所以sin(2x＋)≥sin(－)＝－，

所以当x∈[－，]时，f(x)≥－.

 三角函数的值域或最值的应用

在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为____________．

要求AB＋2BC的最值，首先要将其表达式求出来．在△ABC中，∠B和边AC是确定的，AB，BC是变化的，但∠C一定，则边AB，BC就确定了，可见，AB＋2BC随着∠C的变化而变化，从而可建立AB＋2BC关于∠C的函数关系．

在△ABC中，由正弦定理得＝2R＝＝2，

所以AB＋2BC＝2sin C＋4sin(－C)

＝4sin C＋2cos C

＝2sin(C＋φ)，C∈(0，)，

所以AB＋2BC的最大值为2.

2

利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是：

(1)建立目标函数；(2)求最值；(3)作答．

其中关键是建立目标函数，而建立目标函数的关键是选取适当的角变量，建立目标函数后，再根据表达式的特点求其最值．

3．如图，半径为1的扇形的圆心角为，一个矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，求此矩形ABCD的最大面积．

连接OC，设∠BOC＝α，0<α＜，设矩形ABCD的面积为S，则BC＝sin α，

在△OAD中，＝tan，所以OA＝sin α，

所以AB＝OB－OA＝cos α－sin α，

所以S＝AB·BC＝(cos α－sin α)sin α

＝cos αsin α－sin2α

＝sin 2α－(1－cos 2α)

＝sin 2α＋cos 2α－

＝sin(2α＋)－.

故α＝时，Smax＝.

故矩形ABCD的最大面积为.

1．求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式，常借助三角函数的图象来求解．

2．求三角函数的值域(最值)常用的几种类型如下：

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t

的二次函数求值域(最值)．

换元法是求三角函数最值的重要方法，通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值，这时要特别注意新元的范围．

3．利用三角函数的最值解决有关问题时，关键是引入角α，建立目标函数，然后根据目标函数的特点进行求解．