2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第26讲三角函数的图象与性质（二）

第26讲　三角函数的图象与性质(二)

1．进一步熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值．

2．会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期．

知识梳理

基本初等三角函数的图象与性质(以下k∈Z)

1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期；相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．奇偶性

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

热身练习

1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期为(C)

A．4π  B．2π

C．π  D.

　 函数f(x)＝sin(2x＋)的最小正周期T＝＝π.

2．若函数f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，则φ的一个值为(B)

A．π  B．－

C．－  D．－

　 因为f(x)＝sin(2x＋φ)是偶函数，

所以f(x)＝sin(2x＋φ)＝±cos 2x，

所以φ＝kπ＋，k∈Z.

k＝－1时，φ＝－.

3．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是(D)

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)是奇函数

　 由于f(x)＝sin(x－)＝－cos x，所以函数f(x)的最小正周期为2π，函数f(x)在区间[0，]上是增函数，函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，函数f(x)是偶函数．

4．同时具有：①最小正周期为π；②图象关于点(，0)对称的一个函数是(D)

A．y＝cos(2x－)  B．y＝sin(2x＋)

C．y＝sin(＋)  D．y＝tan(x＋)

　 由T＝π，排除C；把x＝代入A，B，函数值均不为零，排除A，B；再验证D符合题意．

5．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是(A)

A．y＝sin(2x＋)  B．y＝cos(2x＋)

C．y＝sin(x＋)  D．y＝cos(x＋)

　 因为函数的周期为π，所以排除C，D.因为函数在[，]上是减函数，所以排除B，故选A.

 三角函数的周期性

(2017·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)

A.  B.

C．π  D．2π

y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，T＝＝π.

C

(1)涉及三角函数的性质问题，首先应考虑利用三角恒等变换将函数化为一个角的一种函数形式．

(2)掌握一些简单函数的周期：如：

①y＝Asin(ωx＋φ)的周期为；

②y＝Atan(ωx＋φ)的周期为；

③y＝|sin x|的周期为π；

④y＝|tan x|的周期为π.

1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(B)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

因为f(x)＝2cos2x－sin2x＋2

＝1＋cos 2x－＋2

＝cos 2x＋，

所以f(x)的最小正周期为π，最大值为4.

 三角函数的单调性

(经典真题)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为

A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z

B．(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z

C．(k－，k＋)，k∈Z

D．(2k－，2k＋)，k∈Z

(方法一)由五点法作图知，

解得所以f(x)＝cos(πx＋)，

令2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，

解得2k－<x<2k＋，k∈Z.

故f(x)的单调递减区间为(2k－，2k＋)，k∈Z.

(方法二)由图象可知T＝2(－)＝2，

当x＝＝时，f(x)取得最小值，

因为T＝2，所以－1＝－取到最大值．

于是得到f(x)的一个单调递减区间为(－，)，

所以f(x)的单调递减区间为(2k－，2k＋)，k∈Z.

D

(1)方法一是求单调区间的通法；方法二充分利用了单调性的图象特征．

(2)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但若ω＜0，则应利用诱导公式将x的系数化为正数再处理．

(3)求函数的单调区间应遵循先化简的原则，并注意运用复合函数的单调性规律“同增异减”．

2．(2018·新课程卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(A)

A.  B.

C.  D．π

(方法一：利用复合函数的单调性)

f(x)＝cos x－sin x

＝－(sin x·－cos x·)

＝－sin(x－)，

当x∈[－，π]，即x－∈[－，]时，

y＝sin(x－)单调递增，y＝－sin(x－)单调递减．

因为函数f(x)在[－a，a]是减函数，

所以[－a，a][－，π]，

所以0<a≤，所以a的最大值为.

(方法二：利用复合函数的单调性)

f(x)＝cos(x＋)，

当x∈[－，]，即x＋∈[0，π]时，

y＝cos(x＋)单调递减，

所以[－a，a][－，π]，

所以0<a≤，所以a的最大值为.

(方法三：换元，化归为基本函数的单调性)

f(x)＝cos(x＋)，

令t＝x＋，f(x)＝cos t，

因为x∈[－a，a]，所以t＝x＋∈[－a，＋a]，

因为y＝cos t在[0，π]上单调递减，

所以所以0<a≤，所以a的最大值为.

(方法四：利用导数研究单调性)

f′(x)＝－sin x－cos x≤0，得sin(x＋)≥0，

所以2kπ≤x＋≤2kπ＋π，k∈Z，

又f(x)在[－a，a]单调递减，

所以[－a，a][－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，

易知k＝0，所以a取最大值.

 三角函数性质的综合应用

(2018·汕头模拟)将偶函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)在[－，]上的最小值是(　　)

A．－2   B．－1

C．－  D．－

f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋)，

因为f(x)是偶函数，所以θ＋＝kπ＋，k∈Z，

则θ＝kπ＋，k∈Z，因为0＜θ＜π，所以θ＝，

则f(x)＝2sin(2x＋＋)＝2cos 2x，

将f(x)的图象向右平移θ个单位得到函数g(x)的图象，

即g(x)＝2cos2(x－)＝2cos(2x－)，

因为－≤x≤，－≤2x≤，

所以－≤2x－≤－，

所以当2x－＝－π时，g(x)取得最小值－2.

A

(1)本题主要考查三角函数的奇偶性、平移变换、最值等基础知识，考查三角恒等变换能力，体现了高考对考生综合运用知识的能力的要求．

(2)对函数的奇偶性，要注意掌握如下结论：

①函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ，k∈Z.

函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ＋，k∈Z.

②函数y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ，k∈Z.

函数y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ＋，k∈Z.

3．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的两条相邻的对称轴的距离为.将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的单调递减区间为　[kπ＋，kπ＋](k∈Z)　.

　　 f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)

＝2[sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)]

＝2sin(ωx＋φ－)．

因为f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋，k∈Z，

所以φ＝kπ＋＋，k∈Z.

又因为0<φ<π，所以φ＝＋.

所以f(x)＝2sin(ωx＋)＝2cos ωx.

由题意得T＝＝2·，所以ω＝2.故f(x)＝2cos 2x.

所以g(x)＝f(x－)＝2cos[2(x－)]

＝2cos(2x－)．

当2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，

故g(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．

1．三角变换是讨论三角函数性质的工具，无论是研究函数的周期性、奇偶性还是单调性，都要注意利用三角恒等变换的知识，将其化为y＝Asin(ωx＋φ)＋C或y＝Acos(ωx＋φ)＋C或y＝Atan(ωx＋φ)＋C的形式再研究其性质．

2．求函数的单调性区间时，要注意复合函数单调性的规律及将“ωx＋φ”看作一个整体的“整体思想”的运用．

但要注意：判断y＝－Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需求y＝Asin(ωx＋φ)的相反区间即可，对于形如y＝2sin(－2x)的单调区间，常因没有注意到x的系数为负而出错，需要引起重视．

3．研究函数的奇偶性时，要注意如下结论的运用：

①函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数φ＝kπ，k∈Z.

函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ＋，k∈Z.

②函数y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数⇔φ＝kπ，k∈Z.

函数y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数⇔φ＝kπ＋，k∈Z.

4．研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题．