2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第27讲函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
展开第27讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解A，ω，φ的物理意义．
2．掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sin x图象间的变换关系．
3．会由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象或图象性质特征求函数的解析式．
知识梳理
1．y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))的物理意义
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A叫做 振幅 ，T＝叫做 周期 ，f＝叫做 频率 ，ωx＋φ叫做 相位 ，φ叫做 初相 .
2．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图象
(1)列表：
x | － | ||||
ωx＋φ | 0 | π | 2π | ||
y | 0 | A | 0 | －A | 0 |
(2)描点作图．
3．用“变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象
用“变换法”作y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的图象，有如下两种方案：
1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度(而非φ个单位长度)．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
热身练习
1．已知简谐运动f(x)＝2sin(x＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(A)
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
T＝＝6，图象过点(0,1)，所以1＝2sin φ，
所以sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝.
2．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(A)
A．y＝2sin(2x－) B．y＝2sin(2x－)
C．y＝2sin(x＋) D．y＝2sin(x＋)
由图象知＝－(－)＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为(，2)，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin(2x－)．故选A.
3．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(D)
A．y＝2sin(2x＋) B．y＝2sin(2x＋)
C．y＝2sin(2x－) D．y＝2sin(2x－)
函数y＝2sin(2x＋)的周期为π，将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin[2(x－)＋]＝2sin(2x－)，故选D.
4．(2018·河北五校高三联考)把函数y＝sin(2x－)的图象向左平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴的方程为(B)
A．x＝0 B．x＝
C．x＝－ D．x＝
函数y＝sin(2x－)的图象向左平移个单位后得到的函数解析式为y＝sin[2(x＋)－]，即y＝sin(2x＋)，其对称轴方程满足2x＋＝kπ＋，k∈Z，
即x＝＋，k∈Z.
令k＝0，得图象的一条对称轴方程为x＝.
5．已知函数f(x)＝2sin(2x－)．
(1)函数y＝f(x)的图象的对称轴的方程为
x＝＋(k∈Z) ；
(2)函数y＝f(x)的图象的对称中心的坐标为
(＋，0)(k∈Z) .
(1)y＝f(x)的图象有无数条对称轴，其对称轴都经过它们的最高点或最低点且与x轴垂直．
令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)y＝f(x)的图象有无数个对称中心，它们分别为y＝f(x)的图象与x轴的交点，
令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以它们的对称中心为(＋，0)(k∈Z)．
“五点法”作图及图象的对称性
已知函数y＝sin 2x＋cos 2x.
(1)求它的振幅、周期、初相及对称轴方程；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象．
(1)由原函数得y＝2sin(2x＋)，
所以振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝.
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
得到对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
(2)令X＝2x＋，列出下表：
x | － | ||||
X＝2x＋ | 0 | π | 2π | ||
y＝2sin(2x＋) | 0 | 2 | 0 | －2 | 0 |
描出对应的五点，用光滑曲线连接各点，即得到所作出的图象如下图所示．
(1)三角函数的作图的三个主要步骤：列表、描点、连线，关键是五个点的选取．
(2)y＝Asin(ωx＋φ)有无数条对称轴，它们分别过图象的最高点和最低点．
1．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ | 0 | π | 2π | ||
x |
|
|
| ||
Asin(ωx＋φ) | 0 | 5 |
| －5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(，0)，求θ的最小值．
(1)由条件得
解得ω＝2，φ＝－，又A＝5，数据补全如下表：
ωx＋φ | 0 | π | 2π | ||
x | π | ||||
Asin(ωx＋φ) | 0 | 5 | 0 | －5 | 0 |
且函数解析式为f(x)＝5sin(2x－)．
(2)由(1)知 f(x)＝5sin(2x－)，
则g(x)＝5sin(2x＋2θ－)．
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z,
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g(x)的图象关于点(，0)成中心对称，
所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
由图象求解析式及图象变换
下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－，]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
由图象知T＝＝π，所以ω＝2，A＝1，
由五点法作图可知2×(－)＋φ＝0，所以φ＝，
所以y＝sin(2x＋)．
y＝sin x向左平移个单位长度得到y＝sin(x＋)，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．由此可知，应选A.
A
(1)由图象写解析式，要注意数形结合，要注意它和“五点法”作图的联系．
(2)图象变换的两种途径：先相位变换后周期变换(先平移再伸缩)；先周期变换后相位变换(先伸缩再平移)．一般采用先平移再伸缩，要注意每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)说明y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x通过怎样的变换得到．
(1)由题设图象知，周期T＝2(－)＝π，
所以ω＝＝2.
因为点(，0)在函数图象上，
由五点法作图知，＋φ＝kπ＋π，
又0<φ<，所以φ＝.
又因为点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，A＝2，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)y＝sin 2x的图象y＝sin(2x＋)的图象y＝2sin(2x＋)的图象．
三角函数性质的综合应用
已知函数f(x)＝sin(ωx－)，其中ω>0.若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．
(1)因为f(x)＝sin(ωx－)，
依题意＝.又T＝，故ω＝3，
所以f(x)＝sin(3x－)．
(2)(方法一)函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)－]．
g(x)是偶函数当且仅当3m－＝kπ＋(k∈Z)，
即m＝＋(k∈Z)．
从而，最小正实数m＝.
(方法二)函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)－]．
g(x)是偶函数当且仅当g(－x)＝g(x)对x∈R恒成立，
亦即sin(－3x＋3m－)＝sin(3x＋3m－)对x∈R恒成立．
所以sin(－3x)cos(3m－)＋cos(－3x)sin(3m－)
＝sin 3xcos(3m－)＋cos 3xsin(3m－)，
即2sin 3xcos(3m－)＝0对x∈R恒成立，
所以cos(3m－)＝0，
故3m－＝kπ＋(k∈Z)，
所以m＝＋(k∈Z)．
从而，最小正实数m＝.
要善于利用f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象直观性地得到函数的性质，如：①图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为半周期；②两相邻的对称轴之间的距离为半周期；③对称中心都是它们的零点；④对称轴都经过它们的最高点或最低点，且与x轴垂直等．
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．
(1)由最低点为M(，－2)得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为，得＝，
即T＝π，所以ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在图象上得2sin(2×＋φ)＝－2，
即sin(＋φ)＝－1，
故＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z.
又φ∈(0，)，所以φ＝，故f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)因为x∈[，]，
所以2x＋∈[，]．
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.
故f(x)的值域为[－1,2]．
1．五点法作图时要注意五个点的选取，一般是令ωx＋φ取0，，π，，2π，再算出相应的x值，然后列表描点作图．
2．函数图象变换主要是平移变换与伸缩变换，要注意平移与伸缩的多少及方向，并注意变换的顺序．如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来．
3．给出y＝Asin(ωx＋φ)型的图象，求它的解析式，常从寻找“五点法”中的第一个零点(－，0)作为突破口，要从图象的升降找准第一个零点的位置．要善于抓住特殊点和特殊量．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过图象上坐标为(x，±A)且与x轴垂直的直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期．
