2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第35讲数列的概念及其表示法






1．数列的概念和简单表示法
(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．
(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
2．等差数列、等比数列
(1)理解等差数列、等比数列的概念．
(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．
(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题．
(4)了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．
3．算法
(1)了解算法的含义，了解算法的思想．
(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．
(3)了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

年份
考查内容
分值
2014
第17题　(1)等差数列求通项
(2)错位相减法求和
第9题　循环结构
12分

5分
2015
第7题　等差数列的通项
第13题　等比数列基本量的计算
第9题　循环结构
5分
5分
5分
2016
第17题　(1)等差数列求通项
(2)等比数列求和
第10题　循环结构
12分

5分
2017
第17题　(1)求等比数列的通项
(2)等差数列的判定
第10题　循环结构
12分

5分
2018
第17题　(1)递推关系求前3项
(2)判断是否为等比数列
(3)求通项
12分


2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况

年份
考查内容
分值
2014
第5题　等比数列求Sn
第16题　递推数列求指定项
第8题　循环结构
5分
5分
5分
2015
第5题　等差数列的性质
第9题　等比数列的性质
第8题　循环结构
5分
5分
5分
2016
第17题　(1)等差数列求通项
(2)新定义数列求和
第9题　循环结构(秦九韶算法)
12分

5分
2017
第17题　(1)等比数列求通项
(2)求和(等差数列)
第10题　循环结构
12分

5分
2018
第17题　(1)等差数列的通项
(2)求Sn及Sn的最值
第8题　循环结构
12分

5分

2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查数列的试题共13道，其中客观题6道，解答题7道．一般都是采用如下两种模式，一种是“两小”模式，占10分，另一种是“一大”模式，占12分．这两种模式是与三角函数的两种命题模式相互配合的，若三角函数采用“三小”模式，则数列命题采用“一大”模式，若三角函数采用“一大一小”模式，则数列采用“两小”模式．三角函数和数列两部分合起来每年考查所占分值保持不变(约为27分)．
采用“两小”模式，一般是选择题、填空题各一个，一般为容易题或中等难度题．采用“一大”模式，一般设置2问，都是作为解答题的第一题，为容易题或中等难度题．
考查的内容主要是等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、前n项和公式；数列求和的方法，主要包括分组求和、裂项求和等．
算法是高考命题的热点，主要以选择题的形式考查，除2018年卷Ⅰ外，其他各套都是1道试题，占5分．考查内容以循环结构为主，9套题中都是考查的循环结构．

数列是高中代数的重要内容，也是与大学衔接较紧的内容之一，其涉及的基础知识、数学思想与方法，在高中数学的学习中起着重要作用，因而成为历年高考经久不衰的热点题型，但要特别注意近几年的高考试题，对数列难度要求有所降低．复习时，应注意在以下几个方面加强训练：
1．等差、等比数列的定义、通项公式以及等差、等比数列的性质、前n项和公式一直是考查的重点，这方面的考题多以小题形式出现，或出现在解答题第1问中，但解题方法灵活多样，技巧性强，要加强训练．要突出基本量法，注意方程思想的运用．
2．对于由递推式所确定的数列通项问题，通常可通过对递推式的变形转化为等差数列或等比数列加以解决．这类问题在高考中有所降温，在复习时必须控制难度．
3．数列求和问题由于综合性强、对运算要求高．高考常常作为重点进行考查，需要掌握的方法主要有：错位相减法、倒序相加法、分组求和法、裂项相消法等．
算法要加强对算法思想的理解，加强程序框图的阅读理解，由于程序框图可与其他知识建立广泛的联系，在复习时还要注意与其他知识的综合，提高综合分析和运用能力．




第35讲　数列的概念及其表示法
　　　　　　　　　　　


1．理解数列的定义及其有关概念，了解数列与函数的关系．
2．根据已知数列前几项的特点归纳数列的通项公式．
3．掌握an与Sn的关系，根据Sn会求通项an.
4．会根据递推关系确定数列的前几项，掌握几类简单的递推关系求通项的方法．

知识梳理
1．数列的定义
按照　一定顺序　排列的一列数称为数列，数列的一般形式为　a1，a2，…，an，…　，简记为　{an}　.
2．数列的单调性

类型
满足条件
递增数列
an＋1　>　an
递减数列
an＋1　<　an
常数列
an＋1　＝　an

其中n∈N*
　　3.数列的通项公式
如果一个数列{an}的第n项an与　项数n　之间的函数关系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们把这个公式　an＝f(n)　叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的　递推公式　.

1．数列与函数的关系
数列是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．
2．数列{an}的通项an与前n项和Sn的关系
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
an＝
3．两个常用恒等式：
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.
an＝··…··a1.
热身练习
1．数列，，，，…的第10项是(C)
A. B.
C. D.
　 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an＝.当n＝10时，a10＝＝.
2．原命题为“若 A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
　 所以{an}是递减数列．
故原命题为真，其逆否命题也为真．
若{an}为递减数列，则an＋1 所以 3．已知数列{an}的通项公式是an＝n(n＋1)，则132是该数列的(C)
A．第9项 B．第10项
C．第11项 D．第12项
　 因为n(n＋1)＝132，所以n2＋n－132＝0，所以n＝11，或n＝－12(舍去)．
4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(A)
A．15 B．16
C．49 D．64
　 因为S8＝a1＋a2＋…＋a7＋a8，S7＝a1＋a2＋…＋a7，
所以a8＝S8－S7＝82－72＝15.
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝(A)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
　 由递推关系得：a2＝2＋ln 2，a3＝2＋ln 3，由题中选项特点知，选A.
　　　　　　　　　　　


由数列的前几项求数列的通项
写出数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
(1)－，，－，，…；
(2)3,5,9,17,33，….
(1)观察每一项的符号：奇数项为负，偶数项为正，符号可由(－1)n确定；
观察分子：符合规律：n＋1；
观察分母：符合规律：(n＋1)2－1.
最后综合得所求通项公式为an＝(－1)n(n∈N*)．
(2)(方法一)由于每项的值增长很快，与{2n}：2,4,8,16,32，…，进行比较，
得所求通项为an＝2n＋1(n∈N*)．
(方法二)考虑前后两项的关系，有
a2－a1＝21，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1，
累加得，an－a1＝21＋22＋…＋2n－1＝2n－2，
所以an＝2n＋1(n∈N*)．
(1)依据数列前几项的特点归纳出通项公式的方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．具体可通过观察(观察项与项数的特点)、分析(系数、分子、分母等)、比较(与熟知的数列如等差、等比、(－1)n,2n，n2等进行比较)、综合(综合写出项与项数的关系)得到所求数列的通项公式．
(2)注意掌握下列恒等式：
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.

1．根据数列前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；
(2)1,3,6,10，….
(1)注意到前四项中有两项的分子为4，不妨把分子都统一成4，即，，，，…，所以an＝.
(2)(方法一)an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(方法二)观察得an－an－1＝n(n≥2)．
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝.
由数列的前n项和Sn求数列的通项
设数列{an}前n项和为Sn.
(1)若Sn＝3n－2，则an＝ 　　　　　；
(2)若Sn＝n2＋3n，则an＝ 　　　　　.
(1)当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1，
所以an＝
(2)当n＝1时，a1＝S1＝4；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)
＝2n＋2，
对于n＝1，有2×1＋2＝a1，
所以所求数列的通项an＝2n＋2(n∈N*)．
(1)　(2)2n＋2(n∈N*)
由Sn求an的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1；
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；
(3)当n＝1的情况进行检验，若适合n≥2的表达式，则可以合并；若不适合，则写也分段函数形式．

2．(2017·陕西咸阳二模)已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(B)
A．an＝n B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
因为＋＋…＋＝，①
当n≥2时，＋＋…＋＝，②
①－②得＝－＝n，
所以n≥2时，an＝n2.
又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合上式．
所以an＝n2(n∈N*)．
简单的递推公式求通项
根据下列各个数列{an}的首项和递推关系，求其通项公式：
(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)；
(2)a1＝－，an＋1＝an＋1(n∈N*)．
(1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1，所以an－an－1＝3n－1，
令n＝2,3,4，…，得
a2－a1＝31，a3－a2＝32，…，an－an－1＝3n－1，
以上n－1个等式相加得：an－a1＝3＋32＋…＋3n－1，
又a1＝1，
所以an＝1＋3＋9＋…＋3n－1＝(n∈N*)．
(2)设未知数x，使an＋1＋x＝(an＋x)成立，
所以an＋1＝an－x，与an＋1＝an＋1比较得x＝－2.
an＋1－2＝(an－2)≠0.
所以{an－2}是以a1－2＝－为首项，q＝的等比数列．
所以an－2＝－()n－1，
即an＝2－5·()n(n∈N*)．
(1)由递推关系求通项，要求掌握如下方法：
①累加法与累乘法：
an－an－1＝f(n)，可采用累加法求出an(条件是f(n)可求和)；
＝g(n)，可采用累乘法求出an(条件是g(n)可求积)．
②转化法：通过待定系数法、适当变形(如取倒数)等转化为等差数列或等比列数列求通项．
如an＝pan－1＋q(p，q为常数)可采用待定系数法转化为等比数列求通项．

3．(1)数列{an}的首项a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则an＝　(n∈N*)　.
(2)已知a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则an＝　(n∈N*)　.
(1)因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，…，a2＝a1，
将以上n－1个式子相乘得an＝a1×××…×＝＝(n≥2)，
经检验n＝1时也适合，所以an＝(n∈N*)．
(2)两边取倒数得
＝＝＋－＝，
所以{}是以＝1为首项，以为公差的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×＝，即an＝(n∈N*)．

1．根据数列的前若干项写出数列的通项公式，关键是通过观察、分析、比较，发现项与项数之间的关系．如果关系不明显时，应将该项的值作适当的变形和分解，让规律凸现出来．同时，要熟悉一些基本数列的通项及其特点，如正整数数列，正整数的平方数列，奇数数列，偶数数列，2或3为底的幂的数列，数列{(－1)n}等．
2．已知Sn求an，要注意公式an＝Sn－Sn－1成立的充要条件是n≥2，所得到的an的表达式一定要检验a1＝S1是否适合n≥2的表达式，如不适合，则an＝如适合，则an＝Sn－Sn－1 (n≥1)．
3．已知递推公式求通项，要求掌握如下常见方法：
(1)算出前几项，再归纳、猜想；
(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式．要求掌握如下结论：
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.
an＝··…··a1.
(3)利用待定系数法或适当变形等转化为等差数列或等比数列求解的简单的递推关系问题．