2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第36讲等差数列的概念及基本运算

第36讲　等差数列的概念及基本运算

1．理解等差数列的概念．

2．掌握等差数列的通项公式，前n项和公式及其性质．

知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从　第二项　起，每一项与它的前一项的　差　都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，首项记作a1，公差记作d.符号表示为　an＋1－an＝d　(n∈N*，d为常数)．

(2)通项公式：如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则它的通项公式是an＝　a1＋(n－1)d　.

(3)等差中项：如果三数a，A，b成　等差　数列，则A叫做a和b的等差中项．即A＝　　.

2．等差数列{an}的常用性质(其中m，n，p，q∈N*)

(1)an＝am＋　(n－m)　d.

(2)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝　ap＋aq　.

特例：若m＋n＝2p，则am＋an＝　2ap　.

(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为　递增　数列；若d<0，则数列为　递减　数列；若d＝0，则数列为　常　数列．

3．等差数列的前n项和公式

(1)前n项和公式：设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝　　＝　na1＋d　.

(2)等差数列前n项和的性质：

Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

1．等差数列的常用判断方法

(1)定义：an＋1－an＝d(d为常数) ⇔{an}是等差数列．

(2)等差中项：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．

(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q是常数) ⇔{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数) ⇔{an}是等差数列．

2．等差数列前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

热身练习

1．若an＝an＋b(其中a，b为常数，n∈N*)，则数列{an}是(C)

A．当a≠0时，才是等差数列

B．当b≠0时，才是等差数列

C．一定是等差数列

D．不一定是等差数列

　 因为an＋1－an＝a(n∈N*)，由定义知，{an}一定是等差数列，故选C.

2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(B)

A．－1  B．0

C．1  D．6

　 设数列{an}的公差为d，

由a2＝4，a4＝2，a4＝a2＋2d，得

2＝4＋2d，所以d＝－1.

所以a6＝a4＋(6－4)d＝a4＋2d＝2－2＝0.

3．在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，a7＝7，则a4＝(C)

A．4   B．－4

C．5  D．－5

　 因为S10＝60，a7＝7，

所以 解得

所以a4＝a1＋3d＝5.

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(A)

A．5  B．7

C．9  D．11

　 a1＋a3＋a5＝3a3＝3，所以a3＝1，

S5＝＝5a3＝5.

5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2018，则该数列的首项为　2　.

　 设首项为a1，则＝1010，故a1＝2.

 等差数列的基本量的计算

(2017·全国卷Ⅰ·理)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)

A．1  B．2

C．4  D．8

设{an}的公差为d，则

由得

解得d＝4.

C

(1)等差数列通项公式及前n项和公式涉及5个量a1，an，d，n，Sn，知道任意3个量，可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．

(2)等差数列中，a1和d是两个基本量，将等差数列问题化归为基本量的关系来解决是通性解法．

1．(2018·全国卷Ⅰ·理)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(B)

A．－12  B．－10

C．10  D．12

设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，

得3[3a1＋×d]＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，

故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.

 等差数列性质的应用

(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列的前10项的和S10等于

A．45  B．60

C．75  D．90

(2)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝__________时，{an}的前n项和最大．

(1)因为2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，

所以2×3a3＋3×2a8＝54，所以a3＋a8＝9，

所以S10＝＝＝＝45.

(2)a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0，

因为a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<－a8<0.

所以数列的前8项和最大，即n＝8.

(1)A　(2)8

(1)利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量．

(2)求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，利用求二次函数的最值的方法求出最值，但要注意n∈N*.若利用等差数列的单调性，结合等差数列的性质，找到正、负项的分界点，则可快速解决．

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，S3＝S6，则数列{an}的前　4或5　项之和最大，最大值为　5　.

(方法一)因为S3＝S6，所以a4＋a5＋a6＝0.

所以a4＋a6＝2a5＝0，所以a5＝0.

因为a1＝2，由a4＋a6＝0，得a4>0，a6<0，

且a1＋3d＋a1＋5d＝0，所以d＝－.

所以当n＝4或n＝5时，Sn取最大值，

其最大值S4＝S5＝4×2＋×(－)＝5.

(方法二)由a1＝2，S3＝S6，

得3×2＋·d＝6×2＋·d，解得d＝－.

所以Sn＝2n＋×(－)＝－(n2－9n)

＝－[(n－)2－]，

因此，当n＝4或n＝5时，Sn取最大值5.

 等差数列的判断与证明

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1)求证：是等差数列；

(2)求an的表达式．

(1)证明：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，

所以Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，

所以－＝2(n≥2)．

由等差数列的定义知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．

(2)由(1)知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，

所以Sn＝.

当n≥2时，an＝－2Sn·Sn－1＝－，

又n＝1时，a1＝.

所以an＝

(1)等差数列的判定方法：

①定义法：即证明an＋1－an＝d(d是常数，n∈N*)．

②中项公式法：即证明2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．

(2)利用an＝可将含an与Sn的关系转化为只含an或Sn来研究．

3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．

(1)设{an}的公比为q.

由题设可得

解得q＝－2，a1＝－2.

故{an}的通项公式为an＝(－2)n.

(2)由(1)可得

Sn＝＝－＋(－1)n.

(方法一)由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n

＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

(方法二)由于Sn＋2＋Sn＋1

＝(Sn＋an＋1＋an＋2)＋(Sn＋an＋1)

＝2Sn＋(2an＋1＋an＋2)

＝2Sn＋[2an＋1＋an＋1×(－2)]＝2Sn.

故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．

1．等差数列中含有五个量：a1，d，an，n，Sn，通项公式和前n项和公式是连接这五个量的关系式，通过这两个公式，知道其中任意三个可以求出另外两个．但在计算时，要注意设元技巧，注意等差数列性质的运用．

2．等差数列的证明一般采用定义法，即证明an＋1－an＝d.若要判定一个数列是不是等差数列还可采用如下结论：

①用中项公式判定：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；

②用通项公式判定：an＝kn＋b⇔{an}是等差数列；

③用求和公式判定：Sn＝an2＋bn⇔{an}是等差数列．

3．等差数列的前n项和公式是特殊的二次函数关系式，对前n项和的最大值或最小值的求解可以借助函数求最值的方法进行，也可以利用数列的通项公式进行求解．一般地，有如下结论：

①如果d＞0，则Sn有最小值．当a1＞0时，Sn的最小值就是S1＝a1；当a1＜0时，数列中一定存在am≤0，而am＋1≥0，Sn的最小值就是Sm；

②如果d＜0，则Sn有最大值．当a1＜0时，Sn的最大值就是S1＝a1；当a1＞0时，数列中一定存在am≥0，而am＋1≤0，Sn的最大值就是Sm.