2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第37讲等比数列的概念及基本运算

第37讲　等比数列的概念及基本运算

1．理解等比数列的概念．

2．掌握等比数列的通项公式，前n项和公式及其性质．

3．能运用等比数列的概念、公式及性质解决相关问题．

知识梳理

1．等比数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第二项起，　每一项与前一项的比　等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，首项记作a1，公比记作q.

(2)表示形式：　＝q (n∈N*)　.

(3)等比中项：如果三个数a，G，b成　等比数列　，那么G叫做a，b的等比中项，即　G2＝ab　.

(4)通项公式：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝　a1·qn－1　.

2．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·　qn－m　(m，n∈N*)．

(2)在等比数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝　ap·aq　.

(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

3．等比数列前n项和公式

(1)等比数列{an}的公比为q，其前n项和公式为Sn，

当q＝1时，Sn＝　na1　；

当q≠1时，Sn＝　　＝　　.

(2)等比数列前n项和公式的性质：若{an}是公比为q(q≠－1)的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等比数列，且公比为　qn　.

1．等比数列{an}的单调性

(1)满足或时，{an}是递增数列．

(2)满足或时，{an}是递减数列．

(3)满足时，{an}是常数列．

(4)满足q<0时，{an}是摆动数列．

2．等比数列前n项和公式的特征：

当等比数列的公比q≠1时，Sn＝Aqn＋B⇔A＋B＝0.

热身练习

1．等比数列－，，－，…的通项公式是(A)

A．an＝(－)n  B．an＝(－)n＋1

C．an＝－()n  D．an＝－()n＋1

　 因为数列是等比数列，又a1＝－，公比q＝－，

所以an＝a1·qn－1＝(－)n.

2．(2018·北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(B)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

　 a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．

3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)

A．21　  B．42

C．63  D．84

　 设等比数列的公比为q，则a1＋a1q2＋a1q4＝21.

又因为a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，

所以a3＋a5＋a7＝(a1＋a3＋a5)q2＝42.

4．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(D)

A．a1，a3，a9成等比数列  B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列  D．a3，a6，a9成等比数列

　 从项的下标入手寻找规律，下标成等差数列，对应的项成等比数列．

因为a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．

5．等比数列{an}中，a3＝7，前3项的和为S3＝21，则公比q的值为(C)

A．1     B．－

C．1或－   D．－1或

　 当q＝1时，a1＝a2＝a3＝7，S3＝21，故q＝1满足，排除B，D；当q＝－时，a1＝＝28，a2＝＝－14，

S3＝a1＋a2＋a3＝21，所以q＝－也满足，故选C.

 等比数列的基本量的运算

等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝____________.

(方法一)当q＝1时，S3＝3a1，S2＝2a1，

由S3＋3S2＝0得，9a1＝0，

所以a1＝0与{an}是等比数列矛盾，故q≠1.

当q≠1时，由S3＋3S2＝0得，

＋＝0，解得q＝－2.

(方法二)由S3＋3S2＝0得，

a1(1＋q＋q2)＋3a1(1＋q)＝0，

因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2.

－2

(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项a1和公比q，求解时，要注意方程思想的运用．

(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比q是否为1.当n较小时，直接利用前n项和的意义展开，不仅可避开公比q的讨论，还可使求解过程简捷．

1．(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝　32　.

设{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，

所以解得

所以a8＝×27＝25＝32.

 等比数列的性质及应用

(1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝

A．7  B．5

C．－5  D．－7

(2)公比不为1的等比数列{an}中前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，则S30＝__________.

(1)(方法一)利用等比数列的通项公式求解．

由题意得

所以或

所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

(方法二)利用等比数列的性质求解．

由解得或

所以或

所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

(2)(方法一)设公比为q，则

得1＋q10＝3，所以q10＝2.

所以S30＝＝(1＋q10＋q20)

＝10(1＋2＋22)＝70.

(方法二)因为S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，

又S10＝10，S20＝30，

所以S30－30＝＝40，所以S30＝70.

(1)D　(2)70

在等比数列的计算时，要注意性质的运用和整体代入，以简化运算．等比数列的常用性质：

(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.

(2)等比数列连续k项的和仍成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k仍成等比数列，公比为qk.

2．在等比数列{an}中：

(1)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6的值为　4　；

(2)若an>0，且a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值为　10　.

(1)由等比数列的性质知：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列，

所以(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)，

所以a5＋a6＝＝＝4.

(2)因为{an}是等比数列，

所以a1·a10＝a2·a9＝a3·a8＝a4·a7＝a5·a6＝9，

所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

＝log3(a1·a2·a3·…·a10)

＝log3(a5·a6)5＝5log3(a5·a6)＝5log39＝10.

 等比数列的判断与证明

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

(1)证明：因为an＋Sn＝n，①

所以an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②

②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，即2an＋1＝an＋1，

所以2(an＋1－1)＝an－1，

所以＝，又a1＋S1＝2a1＝1，所以a1＝.

因为cn＝an－1，所以首项c1＝a1－1＝－，公比q＝，

所以{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列．

(2)由(1)可知cn＝(－)·()n－1＝－()n，

所以an＝1－()n.

(1)判断或证明一个数列是等差或等比数列的基本方法是运用定义．

(2)在解决等差、等比数列的综合问题时，要树立目标意识：“需要什么，就求什么”，根据目标的需要去变形，去构造，才能快速找到解题途径，达到解决问题的目的．

(3)一般地，若an＋1＝pan＋q(p，q是常数)，则可变形为an＋1－λ＝p(an－λ)，利用待定系数法可确定其中的λ.

3．(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{bn}的前n项和．

要求{an}的通项公式，关键是确定a1，要求{bn} 的前n项和，关键是判断{bn} 是怎样的数列．因此，解决问题的突破口就是用好条件“anbn＋1＋bn＋1＝nbn”，这一条件，揭示了{an}与{bn} 的联系，通过b1，b2可确定a1，从而确定{an}的通项公式；确定了an，则得到了{bn}的递推关系，由此可确定{bn} 是怎样的数列，从而求出{bn} 的前n项和．

(1)由已知a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.

所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.

(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，

因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．

记{bn}的前n项和为Sn，

则Sn＝＝－.

1．在等比数列中，无论是首项a1、公比q，还是通项an均不会为零，公比q＝1时的等比数列是常数列，即an＝a1.

2．等比数列与等差数列之间存在着一种运算的对偶关系．因此，等比数列的复习可类比等差数列的复习进行．例如，在等比数列中，通项公式与前n项和公式也包含有五个量，知道其中三个也可求出另外两个，同样要注意设元技巧，要根据求解目标作整体代换，等比数列和等差数列也有类似的性质和求解技巧等等．

3．等比数列求和公式为Sn＝在处理等比数列求和的有关问题时，要注意对q进行讨论，若忽视对q＝1的讨论，则会导致“对而不全”．

4．证明一个数列是等比数列常用定义法，若证明一个数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．