2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第42讲一元二次不等式

第42讲　一元二次不等式

1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

2．掌握一元二次不等式的解法．

3．会求解简单的分式不等式．

知识梳理

1．一元二次不等式的定义

只含　1　个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式叫做一元二次不等式．

2．一元二次不等式的解集

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则一元二次不等式的解集如下表所示：

　　3.分式不等式与一元二次不等式的关系

(1)>0⇔　(x－a)(x－b)>0　；

(2)<0⇔　(x－a)(x－b)<0　；

(3)≥0⇔　　；

(4)≤0⇔　　.

热身练习

1．(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是　[－3,1]　.

　 要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，

即x2＋2x－3≤0，

得(x－1)(x＋3)≤0，即－3≤x≤1，

故所求函数的定义域为[－3,1]．

2．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<3}，则A∩B＝(B)

A．[－2,3)  B．[－2，－1]

C．[－1,1]  D．[1,3)

　 由x2－2x－3≥0得(x－3)(x＋1)≥0，

所以x≥3或x≤－1，所以A＝{x|x≤－1或x≥3}，

所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}．

3．若0<a<1，则不等式(a－x)(x－1)>0的解是(B)

A．0<x<a   B．a<x<1

C．x<a或x>1  D．x<1或x>a

4．不等式<0的解集为(A)

A．{x|－2<x<3}  B．{x|x<－2}

C．{x|x<－2，或x>3}  D．{x|x>3}

　 由<0得(x＋2)(x－3)<0，解得－2<x<3.

5．不等式x2＋mx＋>0恒成立的条件是(D)

A．m>2  B．m<2

C．m<0或m>2  D．0<m<2

　 Δ＝m2－4×<0，即m2－2m<0，所以0<m<2.

 一元二次不等式的解法

已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为　　　　　　.

因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋4x，

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝－x2－4x(x<0)，

所以f(x)＝

①当x>0时，由f(x)>x，得x2－4x>x，解得x>5；

②当x＝0时，f(x)>x，无解；

③当x<0时，由f(x)>x，得－x2－4x>x，

解得－5<x<0.

综上，f(x)>x的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．

(－5,0)∪(5，＋∞)

(1)解一元二次不等式的一般步骤：①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集．

(2)当f(x)是分段函数时，求f(x)>g(x)的解集时，要分段求解，然后取并集．

1．(2018·河南洛阳模拟)不等式lg(x2－3x)<1的解集为(D)

A．(－2,5)  B．(－5,2)

C．(3,5)  D．(－2,0)∪(3,5)

不等式lg(x2－3x)<1等价于：

解得－2<x<0或3<x<5.

所以不等式lg(x2－3x)<1的解集为(－2,0)∪(3,5)．

 简单的分式不等式的解法

不等式>0的解集是__________．

不等式>0等价于下面的不等式组：

(Ⅰ)或(Ⅱ)

解(Ⅰ)得x>2，解(Ⅱ)得－2<x<－1.

所以原不等式的解集为(－2，－1)∪(2，＋∞)．

(－2，－1)∪(2，＋∞)

(1)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分、整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解．

(2)求解分式不等式常有如下两种等价变形方式：

>0⇔ 或⇔ f(x)·g(x)>0.

前者转化为不等式组，后者转化为整式不等式．

2．(2019·上海市虹口区一模)关于x的不等式≥2的解集为　(1,2]　.

原不等式等价于≥2⇔ ≥0

≤0⇔ ⇔ 1<x≤2.

所以原不等式的解集为(1,2]．

 含参数的一元二次不等式的解法

解关于x的不等式x2－x－a(a－1)>0.

原不等式可化为(x＋a－1)(x－a)>0，

当a>－(a－1)，即a>时，则x>a或x<1－a；

当a＝－(a－1)，即a＝时，则(x－)2>0，

得x≠，x∈R；

当a<－(a－1)，即a<时，则x<a或x>1－a.

综上：

当a>时，不等式的解集为{x|x<1－a或x>a}；

当a＝时，不等式的解集为{x|x≠，x∈R}；

当a<时，不等式的解集为{x|x<a或x>1－a}．

(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论．

(2)一般地，含参数的二次型不等式，常常要从二次项的系数、判别式的符号、方程根的大小等方面进行分类讨论．分类时，要注意不重不漏；写解集时，要注意结合图象；最后还要注意将结论进行综合，分类写了答案．

3．(2018·天津大港区模拟)解关于x的不等式kx2＋2x＋k<0(k≤0)．

(1)当k＝0时，不等式的解集为{x|x<0}．

(2)当k<0时，

①当Δ＝4－4k2>0，即－1<k<0时，不等式的解集为

{x|x<或x>}；

②当Δ<0，即k<－1时，不等式的解集为R；

③当Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解集为{x∈R|x≠－1}．

综上所述，

当k＝0时，不等式的解集为{x|x<0}；

当－1<k<0时，不等式的解集为{x|x<或x>}；

当k＝－1时，不等式的解集为{x∈R|x≠－1}；

当k<－1时，不等式的解集为R.

1．一元一次不等式(组)、一元二次不等式的求解要准确、熟练、迅速，这是解其他不等式的基础．利用数轴及二次函数图象是解一元一次不等式(组)、一元二次不等式的常用方法之一．对于二次不等式的求解问题还要注意“三个二次”的相互联系，注意数形结合思想方法的运用．

2．解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，然后转化为整式不等式来解；转化时，要注意以下同解原理：

(1)不等式＞0(或＜0)与不等式f(x)g(x)＞0(或＜0)同解；

(2)不等式≥0(或≤0)与不等式组(或)同解．

3．注意含参数的不等式分类讨论时，分类要不重不漏．如解含参数t的不等式x2f(t)＋xg(t)＋r(t)＞0(或＜0)，一般需要从三个方面进行讨论求解：一是讨论x2的系数f(t)的取值情况(为正、为负还是为零)；二是讨论Δ的取值情况(为正、为负还是为零)；三是讨论两根的大小(x1＜x2，x1＞x2，还是x1＝x2)．