2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第44讲基本不等式

第44讲　基本不等式

1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件．

2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．

知识梳理

1．基本不等式≥

(1)基本不等式成立的条件：　a>0，b>0　.

(2)等号成立的条件：当且仅当　a＝b　时不等式取等号．

2．几个重要不等式

(1)a2＋b2≥　2ab　(a，b∈R)；

(2)＋≥　2　(a，b同号)；

(3)ab≤()2(a，b∈R)；

(4)　≥　()2.

3．基本不等式求最值

(1)两个　正数　的和为　定值　，当且仅当它们　相等　时，其积最大．

(2)两个　正数　的积为　定值　，当且仅当它们　相等　时，其和最小．

利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．

热身练习

1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(D)

A．a2＋b2>2ab  B．a＋b≥2

C.＋>  D.＋≥2

　 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D，利用基本不等式x＋y≥2(x>0，y>0)成立，故选D.

2．已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是(D)

A．ab≤  B．ab≤()2

C.≥  D.≥

　 易知A，B成立，

对于C，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，

所以≥()2，所以≥，故C成立．

对于D，取a＝4，b＝1，代入可知，不等式不成立，故D不成立．

由以上分析可知，应选D.

3．周长为60的矩形面积的最大值为(A)

A．225  B．450

C．500  D．900

　 设矩形的长为x，宽为y，

则2(x＋y)＝60，所以x＋y＝30，

所以S＝xy≤()2＝225，即Smax＝225.

当且仅当x＝y＝15时取“＝”，故选A.

4．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(A)

A．有最大值   B．有最小值

C．是增函数   D．是减函数

　 f(x)＝－[(－2x)＋(－)]－1≤－2－1，

当且仅当x＝－时，等号成立，

所以函数f(x)有最大值，所以选A.

5．(2017·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为　8　.

　 因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，

所以＋＝1，

所以2a＋b＝(2a＋b)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．

故2a＋b的最小值为8.

 利用基本不等式判断大小关系

下列不等式一定成立的是

A．x2＋1>2x(x∈R)

B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1＋>2(x>0)

D．x≥(x>0)

对于A，当x＝1时，x2＋1＝2x，A不正确．

对于B，需要满足sin x>0，不等式成立，所以B也不正确；

对于C，x2＋1＋≥2，当且仅当x2＋1＝，即x＝0时，取等号，但x>0，所以不等式不能取到等号，故C正确．

对于D，当0<x<1时，x<，故D不正确．

C

运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．

1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是(C)

A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2

B．当x∈(0，)时，sin x＋的最小值为4

C．当x>0时，＋≥2

D．当0<x≤2时，x－无最大值

对于A，当0<x<1时，lg x<0，不等式不成立；

对于B，当x∈(0，)时，sin x＋的最小值不为4(因为sin x＝2不成立)；

对于C，当x>0时，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立；

对于D，当0<x≤2时，x－单调递增，所以当x＝2时，取得最大值，最大值为.

 利用基本不等式求最值

(1)已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值．

(2)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

　　 (1)y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3

≤－2＋3＝1，

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号．

故当x＝1时，ymax＝1.

(2)(方法一)因为x>0，y>0，＋＝1，

所以x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16.

当且仅当＝，且＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.

(方法二)由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)，

可知x>1，y>9，从而

x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10

≥2＋10＝16，

所以当且仅当x－1＝y－9＝3，

即x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.

(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．

(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．

2．(1)若x>0，y>0，且2x＋3y＝6，则xy的最大值为　　.

(2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x>1，≥a恒成立，则a的最大值是(B)

A．4  B．6

C．8  D．10

(1)因为x>0，y>0，且2x＋3y＝6.

所以xy＝(2x)·(3y)≤()2＝，

当且仅当2x＝3y＝3，即x＝，y＝1时，xy取得最大值.

(2)a≤对x∈(1，＋∞)恒成立，即a≤()min.

因为＝＝(x－1)＋＋2，

因为x>1，

所以(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，

当且仅当x－1＝，即x＝3时，取“＝”，所以a≤6.

故a的最小值为6.

 基本不等式的实际应用

(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

一年的总运费为6×＝(万元)．

一年的总存储费用为4x万元．

总运费与总存储费用的和为(＋4x)万元．

因为＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，

所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．

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应用基本不等式解决实际问题的步骤：

①先理解题意，设变量时一般把要求的最大(小)值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；

③利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；

④回到实际问题中，写出正确答案．

3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 　80　件．

设每件产品的平均费用为y元，由题意得

y＝＋≥2＝20.

当且仅当＝(x>0)，即x＝80时“＝”成立．

1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择．

2．基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值．

3．利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件．创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件．