2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第46讲直接证明与间接证明

第46讲　直接证明与间接证明

1．理解综合法和分析法的概念及区别，能熟练地运用它们证题．

2．理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤．

知识梳理

1．综合法

一般地，利用　已知条件和某些数学定义、定理、公理等　，经过一系列的　推理论证　，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．

综合法是由已知推导出未知的证明方法，又叫顺推证法或由因导果法．可用框图表示为：

→→…→

其中，P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论．

2．分析法

从要　证明的结论　出发，逐步寻求使它成立的　充分条件　，直至最后，要把证明的结论归结为　判定一个明显成立的条件　(已知条件、定义、定理、公理等)．这种证明的方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．

用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

  →→→…→

3．反证法

一般地，假设　原命题的结论不成立　，经过　正确的推理　，最后得出　矛盾　，因此说明　假设错误　，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

热身练习

1．下面的两个不等式：

①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；

②＋2<2＋.

其中恒成立的有(C)

A．只有①     B．只有②  

C．①和②   D．①和②都不成立

　 ①成立．

用综合法证明：a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加除2即得；

②成立．用分析法证明：要证＋2<2＋，

只需证(＋2)2<(2＋)2，

即证11＋4<11＋4，

即证<，

即证6<7，而6<7成立，所以原不等式成立．

故选C.

2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(D)

A．2ab－1－a2b2≤0

B．a2＋b2－1－≤0

C.－1－a2b2≤0

D．(a2－1)(b2－1)≥0

　 用分析法证明不等式，每一步都是寻找结论成立的充分条件(当然也可是充要条件)，上述A，B，C都是结论成立的必要条件，不是充分条件，D是充要条件．故选D.

3．如果a>0，b>0，则有(B)

A.>2b－a  B.≥2b－a

C.<2b－a  D.≤2b－a

　 要比较与2b－a的大小，因为a>0，即比较b2与2ab－a2的大小，因为a2＋b2≥2ab，所以b2≥2ab－a2，

从而≥2b－a.

4．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的反设是(A)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

　 “方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根” ⇔ “方程x3＋ax＋b＝0的实根个数大于或等于1”，因此，要作的反设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．

5．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f(x)＝0的根的情况为(A)

A．至多有一个实根  B．至少有一个实根

C．有且只有一个实根  D．无实根

　 假设方程有两个实根x1，x2，不妨设x1<x2，

即f(x1)＝f(x2)＝0，

又f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，应有f(x1)>f(x2)，矛盾，故假设不成立，所以方程至多有一个实根．

 综合法

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C   成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．

由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.①

因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②

由①②，得B＝.

由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，③

由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.

再由③，得a2＋c2－ac＝ac.

即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.

所以A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．

综合法又叫顺推法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法．

1．(2018·山东聊城模拟)当定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件时，称f(x)为“友谊函数”：

(1)对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；

(2)f(1)＝1；

(3)若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．

则下列判断正确的是　①②③　.(填序号)

①若f(x)为“友谊函数”，则f(0)＝0；

②函数g(x)＝x在区间[0,1]上是“友谊函数”；

③若f(x)为“友谊函数”，且0≤x1<x2≤1，则f(x1)≤f(x2)．

①已知f(x)为“友谊函数”，

取x1＝x2＝0，得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0，

又f(0)≥0，所以f(0)＝0，故①正确．

②函数g(x)＝x在区间[0,1]上满足：g(x)≥0；g(1)＝1.

若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，

则有g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝(x1＋x2)－(x1＋x2)＝0，满足条件(3)．

故g(x)＝x满足条件(1)，(2)，(3)，

所以g(x)＝x在区间[0,1]上是“友谊函数”，故②正确．

③因为f(x)为“友谊函数”，0≤x1<x2≤1，则0<x2－x1≤1，

所以f(x2)＝f(x2－x1＋x2)≥f(x2－x1)＋f(x1)≥f(x1)．

故有f(x1)≤f(x2)，故③正确．

 分析法

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≤.

要证＋＋≤，

只需证a＋b＋c＋2＋2＋2≤3，

因为a＋b＋c＝1，只需证＋＋≤1.

而≤，≤，≤，

上述三式相加得＋＋≤＝1成立，

故原不等式成立．

分析法是从命题的结论出发，逐步分析使结论成立的充分条件，因此，要特别注意分析法的书写格式．常采用“要证——只需证——而×××成立，故原命题成立”这样的书写格式．

2．已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，求证：ba>ab.

因为ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，

只需证aln b>bln a，

只需证>.

记f(x)＝，

因为f′(x)＝，

所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上是单调递减函数，

所以a>b>e时，有f(b)>f(a)，即>.

故原不等式成立．

 反证法

设{an}是公比为q的等比数列．

(1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

(1)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

所以Sn＝.

所以Sn＝

(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

因为a1≠0，所以2qk＝qk－1＋qk＋1，

又q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1.这与已知矛盾．

故假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

(1)当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型的命题时，常用反证法．

(2)用反证法的一般步骤：

①反设—— 否定结论；②归谬——推导矛盾；②结论——结论成立．

3．已知数列{an}的前n项的和为Sn，且满足an＋Sn＝2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．

(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，所以a1＝1，

又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，

两式相减，得an＋1＝an，

所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，

所以an＝.

(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p<q<r，且p，q，r∈N*)，

则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)

又因为p<q<r，p，q，r∈R，所以r－q，r－p∈N*，

所以(*)式左边是偶函数，右边是奇数，等式不成立．

所以假设不成立，故原命题成立．

1．数学证明常用的方法有直接法和间接法．综合法和分析法是直接证明的常用方法，也是解决数学问题的常用思维方式．当数学问题直接证明比较困难或直接证明无法进行时，可以采用间接证明，间接证明最主要的方法是反证法．

2．解决数学问题时常将分析法和综合法联合使用，即“由已知看可知，由所求看需知”，从而达到条件与结论的沟通．分析法一般用于解决问题思路方面的探求，综合法表述简洁，规范．因此，可用分析法寻找解题思路，用综合法书写解题过程．

3．用反证法证明数学命题一般步骤：

(1)分清命题的条件和结论；

(2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

(3)从这个假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾；

(4)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．