2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第47讲空间几何体的结构及三视图、直观图

1．空间几何体

(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

(3)会用平行投影画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

2．空间直角坐标系

(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．

(2)会简单应用空间两点间的距离公式．

3．点、直线、平面之间的位置关系

(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．

公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

定理：空间中如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．

(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．

理解以下判定定理．

①如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．

②如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．

③如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．

④如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．

理解以下性质定理，并能够证明：

①如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．

②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线相互平行．

③垂直于同一个平面的两条直线平行．

④如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于他们交线的直线与另一个平面垂直．

(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况

　　2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况

立体几何是每年高考必考内容，在2014年至2018年卷Ⅰ和卷Ⅱ的10套试题中，除2014年卷Ⅰ是“一小一大”，2018年卷Ⅰ是“三小一大”外，其他各套试题都是“两小一大”，占22分．

客观题主要考查三视图，球的表面积或体积、多面体、组合体的有关计算，其中三视图是高考的热点，每年都考查一道小题．客观题主要以选择题为主，选择题一般在第6至11题之间，填空题一般在第15题或第16题的位置，一般是中等难度或偏难的试题．

解答题都是设置两问，其中第一问主要是位置关系的证明，主要涉及线线垂直、线面平行、面面垂直、线段相等及作图等，第二问主要涉及体积与表面积的计算，以几何体的体积计算为主，包括直接求体积、间接求体积(如用等体积法求点到面的距离、求体积之比等)．立体几何解答题一般在第18题或第19题，是中等难度的试题．

立体几何是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的良好素材，主要以三个载体(三视图、直观图、点线面的位置关系)来帮助学生认识空间图形及其位置关系，提升空间想象能力．并在几何直观的基础上，初步形成对空间图形的逻辑推理能力．在复习时要注意如下几个方面：

1．三视图是高考的重点和热点，在学习时可以通过“实物模型——三视图——直观图”这样一个相互转化的过程来认识空间几何体，要求能够画出空间几何体的三视图和直观图，从三视图想象出它的实物图和直观图．注重培养和发展学生的几何直观能力和空间想象能力，帮助学生更全面地把握空间几何体．

2．空间位置关系特别是空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考必考内容，要求熟练掌握平行与垂直的判定定理及性质定理，要能根据问题的特点迅速联想相应的问题进行证明，提高空间想象能力和逻辑推理论证能力．

3．明确柱、锥、台、球的几何特征，并能进行表面积、体积的运算．高考常以此为载体考查空间想象能力及运算能力．

第47讲　空间几何体的结构及三视图、直观图

1．了解柱、锥、台、球的定义、性质及它们之间的关系．

2．掌握柱、锥、台、球的结构特征．

3．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

知识梳理

1．柱、锥、台、球的结构特征

续表

　　2.三视图

(1)正视图是光线自物体的　前面向后面　正投影所得的投影图．俯视图是光线自物体的　上面向下面　正投影所得的投影图．侧视图是光线自物体的　左面向右面　正投影所得的投影图．

(2)三视图的排列规则：先画正视图，俯视图画在正视图的　下方　，长度与正视图　相等　，侧视图则安排在正视图的　正右方　，高度与正视图　相同　.

3．直观图

空间几何体的直观图常用　斜二测法　来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于O′点，且使∠x′O′y′＝　45°(或135°)　.

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成　平行于x′轴或y′轴　的线段．

③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中　保持原长度不变　，平行于y轴的线段，长度为　原来的一半　.

(2)画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段在直观图中仍平行于z′轴且长度　相等　.

(3)成图

根据实际图形，顺次连接线段的端点，并整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)，就得到了几何体的直观图．

1．根据三视图确定直观图的常用结论

(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；

(2)三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；

(3)三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；

(4)三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；

(5)三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．

2．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的.

热身练习

1．下列四个命题：

①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；

②各个面都是三角形的几何体是三棱锥；

③用一个平面去截棱锥，棱锥的底面与截面之间的部分是棱台；

④两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．

其中正确的命题有(A)

A．0个     B．1个

C．2个   D．3个

　 ①假，如棱台有两个面互相平行，其余各面是四边形；

由图1至图3可知②、③、④都是错误的．

2．下列说法正确的是(C)

A．以直角三角形的一边为轴旋转所得到的旋转体是圆锥

B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台

C．以半圆的直径为轴旋转一周所得到的旋转体是球

D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

　 A是错误的，以直角三角形的直角边为轴旋转所得到的旋转体才是圆锥；B是错误的．以直角梯形的垂直于底的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；C是正确；D是错误的，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长．故选C.

3．下列几何体的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(D)

A．①②   B．①③

C．①④  D．②④

　 圆锥和正四棱锥的正视图和侧视图都是等腰三角形．

4．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼．图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(A)

　 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，

由直观图可知其俯视图应选A.

5．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是(C)

A．1＋  B．1＋

C．2＋  D.＋

　 先画出直观图：图(1)对应的平面图形：图(2)，

可知平面图形是一个直角梯形，其中AD＝2，DC＝1，AB＝＋1，所以其面积S＝×2＝2＋.

 空间几何体的结构特征

(经典真题)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值

A．至多等于3  B．至多等于4

C．等于5  D．大于5

根据n的取值构造相应的几何图形或几何体求解．

n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长不可能相等．

B

本题考查了空间想象能力和推理论证能力，试题有较大的难度．根据题目特点善于构造几何图形和空间几何体是解决这类问题的关键．

1．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何体是　①③④⑤　.(写出所有正确结论的编号)

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体．

作出正方体ABCD－A′B′C′D′.

①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面直线对角线的四个端点构成的四面体，如B′－ACD′；⑤取D－B′BC时各面均为直角三角形．

 空间几何体的三视图

如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图分别是(①②③④⑤⑥代表图形)(　　)

A．①④③  B．①②③

C．⑤④③  D．①④⑥

由四面体ABCD四个顶点是长方体的四个顶点，可得四面体ABCD的正视图为①，侧视图为②，俯视图为③.

故四面体ABCD的三视图分别为①②③.

B

(1)解决三视图问题，要从以下几个方面加以把握：

①搞清正视、侧视、俯视的方向，同一物体由于正视、侧视的方向不同或放置的位置不同，所画的三视图可能不同．

②遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则．

③注意几何体中与投影面垂直或平行的线段在三视图中的特点．

④要注意实线、虚线的画法，可视轮廓线画成实线，不可视的画成虚线．

(2)画三视图时，要注意所给几何体与熟知的几何体的联系，如将几何体放置在正方体(或长方体)中或补形成正方体等，有利用发现线、面与投影面的位置关系，从而准确作出相应的三视图．

2．(1)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)

A．①和②  B．③和①

C．④和③  D．④和②

(2)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为(C)

A.

B.

C.

D．1

(1)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，

设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为④和②.

(2)由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧视图的高为，又由“宽相等”可知侧视图的宽度和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为1×sin 60°＝.

所以侧视图的面积为S＝××＝.

 由三视图得到空间几何体的直观图

(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(　　)

A．3  B．2

C．2  D．2

在正方体中还原该四棱锥，如图所示，

可知SD为该四棱锥的最长棱．

由三视图可知正方体的棱长为2，

故SD＝＝2.

B

将三视图还原为直观图时，若能将其放置到“正方体”或“长方体”中去研究，不仅能较易得到直观图，同时还能发现各元素之间的数量关系与位置关系， 便于问题的解决．

3．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(B)

A．10　  B．12

C．14　  D．16

　　 将三视图还原为直观图，如图：

可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2.

因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2.

故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.

1．与柱、锥、台、球有关的概念题，要结合其定义和结构特征，作出准确的判断，若说明命题是假命题，只需要举出一个反例即可．

2．画三视图要注意“长对正、高平齐、宽相等”．

3．三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．