2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第51讲空间中的垂直关系

第51讲　空间中的垂直关系

1．了解空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义．

2．掌握判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的方法，能正确判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直．

3．掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质．

知识梳理

1．直线与平面垂直的判定

(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的　任意一条直线　都垂直，则此直线与这个平面垂直．

(2)判定定理：一条直线与一平面内的　两条相交直线　都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．

用符号语言可表示为：m⊂α，n⊂α，　m∩n＝A　，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

2．直线与平面垂直的性质

(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面α，则这条直线垂直于平面α内的　任意一条　直线．

(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线　平行　.

用符号语言表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b　.

3．两平面垂直的判定

(1)利用定义：两个平面相交，若所成的二面角为　90°　，则称这两个平面互相垂直．

(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条　垂线　，那么这两个平面互相垂直．

用符号语言表示为：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β　.

4．两平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面　垂直　.

用符号语言表示为：α⊥β，α∩β＝l，b⊥l，b⊂α，则　b⊥β　.

1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．

3．垂直于同一条直线的两个平面平行．

4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直线也与另一个平面也垂直．

热身练习

1．下列命题正确的是(D)

①如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

②如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

③如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

④如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

A．①②  B．①③

C．②④  D．③④

　 ①中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；②中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有③与④才成立．

2．下列四个命题：

①平行于同一直线的两条直线平行；

②垂直于同一直线的两条直线平行；

③若直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线；

④垂直于同一个平面的两条直线平行．

其中正确的命题是(A)

A．①③④  B．①④

C．①  D．①②③④

　 由三线平行公理知①正确；由直线与平面垂直的定义知③正确；由直线与平面垂直的性质定理知④正确．

3．下面命题中：

①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；

②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；

③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直．

其中正确命题的个数有(D)

A．0个  B．1个

C．2个  D．3个

　 ①正确，是两个平面垂直的定义；②正确，是两平面垂直的判定定理；③正确，即若a∥α，a⊥β，则α⊥β.证明如下：

过a作平面γ使α∩γ＝a′，因为a∥α，所以a∥a′，又a⊥β，所以a′⊥β，又a′⊂α，所以α⊥β，故选D.

4．下列两个命题中：

①两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们的交线的直线必垂直第二个平面；

②一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．

对上述两命题的判断中，正确判断的是(C)

A．①、②都正确  B．①正确，②不正确

C．①不正确，②正确  D．①、②都不正确

　 ①不正确，当点在交线上时，满足条件，但该直线不一定垂直第二个平面．

②正确，即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.

证明如下：

设α∩γ＝a，在γ内作直线l⊥a，则l⊥α.

 ⇒β⊥γ.

由以上分析可知，选C.

5．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(C)

A．m∥l  B．m∥n

C．n⊥l  D．m⊥n

　 因为α∩β＝l，所以l⊂β.因为n⊥β，所以n⊥l，故选C.

 线面垂直的判定

(2018·北京卷·理节选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.求证：AC⊥平面BEF.

在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，图形也由同一图形给出，因此，在证明第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．在处理后面所选的例题及变式时，也要注意这一点．

在三棱柱ABC－A1B1C1中，

因为CC1⊥平面ABC，

所以四边形A1ACC1为矩形．

又E，F分别为AC，A1C1的中点，

所以AC⊥EF.

因为AB＝BC，所以AC⊥BE，

EF∩BE＝E，所以AC⊥平面BEF.

(1)证线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两条相交直线垂直．

(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面：

①要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直于底边；直径所对的圆周角为90°等．

②利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于90°等．

③利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理．

1．四面体ABCD中，AC＝BD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF＝AC，∠BDC＝90°，求证：BD⊥平面ACD.

取CD的中点G，连接EG，FG，

因为E，F分别是AD，BC的中点，

所以EGAC，FGBD.

又AC＝BD，所以FG＝AC，

所以在△EFG中，EG2＋FG2＝AC2＝EF2，

所以EG⊥FG，所以BD⊥AC，

又∠BDC＝90°，即BD⊥CD，

因为AC，CD⊂平面ACD，且AC∩CD＝C，

所以BD⊥平面ACD.

 面面垂直的判定

(2018·广州模拟)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.证明：平面PAC⊥平面PCE.

连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，

连接OF，EF.

因为O，F分别为AC，PC的中点，

所以OF∥PA，且OF＝PA，

因为DE∥PA，且DE＝PA，

所以OF∥DE，且OF＝DE.

所以四边形OFED为平行四边形，

所以OD∥EF，即BD∥EF.

因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.

因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.

因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.

因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.

因为FE⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.

证明两平面垂直的基本方法是利用平面与平面垂直的判定定理，即证其中一个平面经过另一个平面的垂线．

2．(2018·南关区校级期末节选)在平面四边形ACBD(图①)中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′－ABD.当C′D＝时，求证：平面C′AB⊥平面DAB.

当C′D＝时，取AB的中点O，连接C′O，DO，

在Rt△AC′B，Rt△ADB，AB＝2，则C′O＝DO＝1，

又因为C′D＝，

所以C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD，

又因为C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，

所以C′O⊥平面ABD，

又因为C′O⊂平面ABC′，

所以平面C′AB⊥平面DAB.

 线面垂直、面面垂直的性质

(2015·广东卷节选)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.证明：PE⊥FG.

在△PCD中，因为E为CD的中点，且PC＝PD，

所以PE⊥CD.

又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，PE⊂平面PCD，

所以PE⊥平面ABCD.

又因为FG⊂平面ABCD，所以PE⊥FG.

本题着重考查了两平面垂直及直线与平面垂直的性质，从中可进一步体会三种垂直关系的转化及作用．

3．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，

所以EF∥AB.

又因为EF ⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.

因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.

又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.

又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.

1．直线与平面垂直、平面与平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可从直线和平面、平面与平面所成的角为90°的角度认识，也可从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理论证．

2．在空间垂直关系中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知图形通过计算证明垂直，也可根据已知的垂直关系证明线线垂直．

3．在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用这些定理时，要特别注意交代这些限制条件．

4．垂直关系的论证，常用的思路是由已知想性质，由求证想判定，根据性质的需要作辅助线、面．特别是要会利用特殊多面体的线面关系，如直棱柱、正棱锥等多面体的线面关系为已知条件，进行证明．

5．空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下面的框图进行记忆．