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所属成套资源：2020高考数学文科大一轮复习导学案
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2020高考数学文科大一轮复习导学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.3
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知识点一 平面向量的数量积
1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
3．数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( B )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( D )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：·＝(＋)·＝2＋·＝42＋0＝16.故选D.
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为－.
解析：b在a方向上的投影为|b|cos120°＝3×(－)＝－.
知识点二 平面向量数量积的运算律与性质
1．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cosθ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.
2．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．判断正误
(1)(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( × )
5．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为( B )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.
6．(2019·济南模拟)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是.
解析：因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－|a||b|·cos〈a，b〉＝3－2×cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝，由于〈a，b〉∈[0，π]．则向量a，b的夹角为.
1．向量投影
|a|cosθ(|b|cosθ)(θ是a与b的夹角)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影，且|a|cosθ＝(|b|cosθ＝)．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c，两边不能约去同一个向量．
第1课时 平面向量的数量积
考向一 平面向量的数量积
【例1】 (1)(2019·商丘模拟)在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－ B．0
C. D．3
(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为( )
A．－15 B．－9
C．－6 D．0
(3)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．
【解析】 (1)依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×＋
1×1×＋1×1×＝－.
(2)由＝2，可知＝2，
∴＝3.由＝2，可知＝2，∴＝3，故＝＝3，连接MN，则BC∥MN且||＝3||.
∴＝3＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3(||·||cos120°－||2)＝－6.故选C.
(3)以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x,1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
∵||＝||，
∴|x|＝|y|，∴x＝－y.
∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，
∴·＝－x(2－x)－(y－1)
＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∴当x＝时，·取得最小值，为.
【答案】 (1)A (2)C (3)
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
(1)已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为( C )
A．－ B．－3
C. D．3
(2)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝6.
解析：(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝.
(2)法1：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，∴·＝·(＋)＝·＋·＝||·||cos45°＋||·||cos45°＝2×2×＋2×1×＝6.
法2：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1，0)，∴＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.
考向二 平面向量数量积的性质
方向1 求平面向量的模
【例2】 设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝________.
【解析】 因为|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，
所以(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9，
所以a·b＝－2，所以|a＋2b|＝
＝＝＝4.
【答案】 4
方向2 求平面向量的夹角
【例3】 (1)(2019·河北石家庄质检)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B.π
C.π D.
(2)平面向量a＝(1,2)，b＝(6,3)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角与c与b的夹角相等，则m＝________.
【解析】 (1)因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b，所以a·b＝0.又因为|a＋b|＝2|b|，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，即|a|＝|b|.设a＋b与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，又知θ∈[0，π]，所以θ＝，故选D.
(2)依题意有c＝(m＋6,2m＋3)，根据夹角公式有
＝，解得m＝3.
【答案】 (1)D (2)3
方向3 平面向量的垂直问题
【例4】 (1)(2019·安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，它们的夹角θ＝60°.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
(2)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
【解析】 (1)由题意得cosθ＝.
∵n⊥(tm＋n)，
∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×＋|n|2＝|n|2＋|n|2＝0，
解得t＝－3.故选B.
(2)因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
【答案】 (1)B (2)C
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
① a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
1．(方向1)(2019·安徽质量检测)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( C )
A．6 B．36
C．2 D．12
解析：解法1：因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，又|b|＝1，向量a与向量b的夹角为60°，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2，故选C.
解法2：如图，作出＝a，＝2b，则以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，可得＝a＋2b，所以|a＋2b|＝AC，由题意知∠DAB＝60°，AB＝AD＝2，所以在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，故AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝4＋4－2×2×2×(－)＝12，则|a＋2b|＝AC＝2.故选C.
2．(方向2)(2019·南宁、柳州联考)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角是( D )
A. B.
C. D.
解析：因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，整理得a·b＝0.在平面直角坐标系中作出a，b，b－a，如图，易知a与b－a的夹角是，故选D.
3．(方向3)如图所示，等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足＝＝λ，当·＝0时，则λ的值为.
解析：由AB＝4，BC＝CD＝2，可得〈，〉＝60°，则·＝4×2×＝4，·＝4×2×＝－4，·＝2×2×＝2.∵＝＝λ，∴＝λ，＝λ，则＝＋＝＋λ，＝－＝λ－，∴·＝(＋λ)·(λ－)＝λ||2－·＋λ2·－λ·＝0，即16λ－4－4λ2－2λ＝0，∴2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝(舍)或λ＝.
第2课时 平面向量数量积的应用
考向一 平面向量在几何中的应用
【例1】 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．
【解析】 (1)设||＝x，x>0，则·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.
(2)由题意可得·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2，
在菱形ABCD中，易知＝，＝，
所以＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
·＝·
＝＋－2＝1，解得λ＝2.
【答案】 (1) (2)2
平面向量与几何综合问题的求解方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
若非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为( C )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰非等边三角形
解析：由·＝0知，角A的平分线与BC垂直，∴||＝||；由·＝，知cosA＝，∴A＝60°，∴△ABC为等边三角形．
考向二 平面向量与三角函数的综合应用
【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
【解】 (1)由题意得(a－c)cosB＝bcosC.
根据正弦定理得(sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
所以sinAcosB＝sin(C＋B)，
即sinAcosB＝sinA，因为A∈(0，π)，
所以sinA>0，所以cosB＝，
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)．
故△ABC的面积S＝acsinB≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
向量与三角函数综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为( C )
A.， B.，
C.， D.，
解析：由m⊥n得m·n＝0，即cosA－sinA＝0，即2cos＝0，因为
方向1 数量积的最值
【例3】 (2019·武汉市调研考试)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是( )
A．1＋ B．1－
C.－1 D．1
【解析】 解法1：
如图，作出，使得＋＝，(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.
解法2：以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系(取的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向)，则A(1,0)，B(0,1)．
设C(cosθ，sinθ)(θ∈[0,2π))，∴－＝(cosθ－1，sinθ)，－＝(cosθ，sinθ－1)，∴(－)·(－)＝cosθ(cosθ－1)＋sinθ(sinθ－1)＝cos2θ＋sin2θ－(sinθ＋cosθ)＝1－sin，∵θ∈[0,2π)，∴sin∈[－1,1]，∴(－)·(－)的最大值为＋1，故选A.
【答案】 A
方向2 模的最值
【例4】 (2019·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
【解析】 解法1：∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.
解法2：∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0)，b＝(－，)，则a＋b＝(，)，∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(，)(t∈R)，∴a＋c＝(1＋，t)，∴|a＋c|＝＝≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.
【答案】 D
平面向量的最值一般有两种处理方法
(1)几何法：充分利用几何图形的特征结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决；
(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决．
1．(方向1)(2019·河南郑州二模)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为( B )
A．－2 B．3－
C．－1 D．0
解析：由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝，令＝a，＝b，
以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝＝(1,0)，b＝＝，设c＝＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－＝3－
sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.
2．(方向1)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为－.
解析：∵圆心O是直径AB的中点，∴＋＝2，
∴(＋)·＝2·，
∵||＋||＝3≥2，
∴||·||≤，即(＋)·＝2·
＝－2||·||≥－，
当且仅当||＝||＝时，等号成立，
故最小值为－.
3．(方向2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( A )
A. B．2
C. D．2
解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意可知⊥，∴O，A，C，B四点共圆．当OC为圆的直径时，|c|最大，此时||＝.
典例 (1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
【解析】 (1)解法1：∵AC为Rt△ABC的斜边，∴AC为圆x2＋y2＝1的一条直径，故AC必经过原点，如图，则＋＝2，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点(－1,0)处时|＋＋|取得最大值，此时，＝(－2,0)，＝(－3,0)，2||＋||＝2×2＋3＝7，故|＋＋|的最大值为7.
解法2：同解法1，得|＋＋|＝|＋|.
又＝－，
∴|＋＋|＝|2＋－|
＝|－3|
＝
＝
＝≤＝7，
当且仅当∠POB＝180°时取等号，故|＋＋|的最大值为7.
解法3：同解法1，得|＋＋|＝|2＋|.
设B(cosα，sinα)，则|2＋|
＝|2(－2,0)＋(cosα－2，sinα)|
＝|(－6＋cosα，sinα)|
＝
＝≤＝7，
当cosα＝－1，即B落在点(－1,0)处时取等号．
故|＋＋|的最大值为7.
(2)由向量的数量积，知－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a||b|≥－a·b(当且仅当〈a，b〉＝π时等号成立)．
由|2a－b|≤3⇒4|a|2－4a·b＋|b|2≤9⇒9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b⇒a·b≥－(当且仅当2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π时取等号)，∴a·b的最小值为－.
【答案】 (1)B (2)－
知识点一 平面向量的数量积
1．数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
2．向量的投影：设θ为a与b的夹角，则|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
3．数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( B )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于( D )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：·＝(＋)·＝2＋·＝42＋0＝16.故选D.
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为－.
解析：b在a方向上的投影为|b|cos120°＝3×(－)＝－.
知识点二 平面向量数量积的运算律与性质
1．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cosθ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.
2．平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．判断正误
(1)(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
(2)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( × )
5．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为( B )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2,3)，所以·＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.
6．(2019·济南模拟)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是.
解析：因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－|a||b|·cos〈a，b〉＝3－2×cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝，由于〈a，b〉∈[0，π]．则向量a，b的夹角为.
1．向量投影
|a|cosθ(|b|cosθ)(θ是a与b的夹角)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影，且|a|cosθ＝(|b|cosθ＝)．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c，两边不能约去同一个向量．
第1课时 平面向量的数量积
考向一 平面向量的数量积
【例1】 (1)(2019·商丘模拟)在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－ B．0
C. D．3
(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为( )
A．－15 B．－9
C．－6 D．0
(3)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．
【解析】 (1)依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×＋
1×1×＋1×1×＝－.
(2)由＝2，可知＝2，
∴＝3.由＝2，可知＝2，∴＝3，故＝＝3，连接MN，则BC∥MN且||＝3||.
∴＝3＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3(||·||cos120°－||2)＝－6.故选C.
(3)以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x,1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
∵||＝||，
∴|x|＝|y|，∴x＝－y.
∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，
∴·＝－x(2－x)－(y－1)
＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
∴当x＝时，·取得最小值，为.
【答案】 (1)A (2)C (3)
平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
(1)已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为( C )
A．－ B．－3
C. D．3
(2)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则·＝6.
解析：(1)因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为
||cos〈，〉＝＝＝.
(2)法1：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，∴·＝·(＋)＝·＋·＝||·||cos45°＋||·||cos45°＝2×2×＋2×1×＝6.
法2：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1，0)，∴＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.
考向二 平面向量数量积的性质
方向1 求平面向量的模
【例2】 设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，则|a＋2b|＝________.
【解析】 因为|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，
所以(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9，
所以a·b＝－2，所以|a＋2b|＝
＝＝＝4.
【答案】 4
方向2 求平面向量的夹角
【例3】 (1)(2019·河北石家庄质检)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A. B.π
C.π D.
(2)平面向量a＝(1,2)，b＝(6,3)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角与c与b的夹角相等，则m＝________.
【解析】 (1)因为|a＋b|＝|a－b|，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b，所以a·b＝0.又因为|a＋b|＝2|b|，所以|a|2＋2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，即|a|＝|b|.设a＋b与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，又知θ∈[0，π]，所以θ＝，故选D.
(2)依题意有c＝(m＋6,2m＋3)，根据夹角公式有
＝，解得m＝3.
【答案】 (1)D (2)3
方向3 平面向量的垂直问题
【例4】 (1)(2019·安徽蚌埠一模)已知非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，它们的夹角θ＝60°.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
(2)平面四边形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，则四边形ABCD是( )
A．矩形 B．正方形
C．菱形 D．梯形
【解析】 (1)由题意得cosθ＝.
∵n⊥(tm＋n)，
∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×＋|n|2＝|n|2＋|n|2＝0，
解得t＝－3.故选B.
(2)因为＋＝0，所以＝－＝，所以四边形ABCD是平行四边形．又(－)·＝·＝0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形．
【答案】 (1)B (2)C
平面向量数量积求解问题的策略
(1)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
① a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.
②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．
(3)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.
1．(方向1)(2019·安徽质量检测)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( C )
A．6 B．36
C．2 D．12
解析：解法1：因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，又|b|＝1，向量a与向量b的夹角为60°，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12，所以|a＋2b|＝2，故选C.
解法2：如图，作出＝a，＝2b，则以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，可得＝a＋2b，所以|a＋2b|＝AC，由题意知∠DAB＝60°，AB＝AD＝2，所以在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，故AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°＝4＋4－2×2×2×(－)＝12，则|a＋2b|＝AC＝2.故选C.
2．(方向2)(2019·南宁、柳州联考)已知单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角是( D )
A. B.
C. D.
解析：因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，整理得a·b＝0.在平面直角坐标系中作出a，b，b－a，如图，易知a与b－a的夹角是，故选D.
3．(方向3)如图所示，等腰梯形ABCD中，AB＝4，BC＝CD＝2，若E，F分别是BC，AB上的点，且满足＝＝λ，当·＝0时，则λ的值为.
解析：由AB＝4，BC＝CD＝2，可得〈，〉＝60°，则·＝4×2×＝4，·＝4×2×＝－4，·＝2×2×＝2.∵＝＝λ，∴＝λ，＝λ，则＝＋＝＋λ，＝－＝λ－，∴·＝(＋λ)·(λ－)＝λ||2－·＋λ2·－λ·＝0，即16λ－4－4λ2－2λ＝0，∴2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝(舍)或λ＝.
第2课时 平面向量数量积的应用
考向一 平面向量在几何中的应用
【例1】 (1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________．
【解析】 (1)设||＝x，x>0，则·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.
(2)由题意可得·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2，
在菱形ABCD中，易知＝，＝，
所以＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
·＝·
＝＋－2＝1，解得λ＝2.
【答案】 (1) (2)2
平面向量与几何综合问题的求解方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．
若非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为( C )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰非等边三角形
解析：由·＝0知，角A的平分线与BC垂直，∴||＝||；由·＝，知cosA＝，∴A＝60°，∴△ABC为等边三角形．
考向二 平面向量与三角函数的综合应用
【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.
(1)求角B的大小；
(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．
【解】 (1)由题意得(a－c)cosB＝bcosC.
根据正弦定理得(sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
所以sinAcosB＝sin(C＋B)，
即sinAcosB＝sinA，因为A∈(0，π)，
所以sinA>0，所以cosB＝，
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|－|＝，所以||＝，
即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)．
故△ABC的面积S＝acsinB≤，
因此△ABC的面积的最大值为.
向量与三角函数综合应用
(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．
(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识．
已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为( C )
A.， B.，
C.， D.，
解析：由m⊥n得m·n＝0，即cosA－sinA＝0，即2cos＝0，因为
方向1 数量积的最值
【例3】 (2019·武汉市调研考试)设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是( )
A．1＋ B．1－
C.－1 D．1
【解析】 解法1：
如图，作出，使得＋＝，(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.
解法2：以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系(取的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向)，则A(1,0)，B(0,1)．
设C(cosθ，sinθ)(θ∈[0,2π))，∴－＝(cosθ－1，sinθ)，－＝(cosθ，sinθ－1)，∴(－)·(－)＝cosθ(cosθ－1)＋sinθ(sinθ－1)＝cos2θ＋sin2θ－(sinθ＋cosθ)＝1－sin，∵θ∈[0,2π)，∴sin∈[－1,1]，∴(－)·(－)的最大值为＋1，故选A.
【答案】 A
方向2 模的最值
【例4】 (2019·福州四校联考)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
【解析】 解法1：∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(a＋b)(t∈R)，∴a＋c＝(t＋1)a＋tb，∴(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2，∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.
解法2：∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴向量a，b的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a＝(1,0)，b＝(－，)，则a＋b＝(，)，∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t(，)(t∈R)，∴a＋c＝(1＋，t)，∴|a＋c|＝＝≥，∴|a＋c|的最小值为，故选D.
【答案】 D
平面向量的最值一般有两种处理方法
(1)几何法：充分利用几何图形的特征结合向量的线性运算和向量的数量积运算解决；
(2)代数法：将平面向量的最值转化为坐标运算，建立目标函数，利用代数方法解决．
1．(方向1)(2019·河南郑州二模)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为( B )
A．－2 B．3－
C．－1 D．0
解析：由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝，令＝a，＝b，
以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝＝(1,0)，b＝＝，设c＝＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－＝3－
sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.
2．(方向1)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为－.
解析：∵圆心O是直径AB的中点，∴＋＝2，
∴(＋)·＝2·，
∵||＋||＝3≥2，
∴||·||≤，即(＋)·＝2·
＝－2||·||≥－，
当且仅当||＝||＝时，等号成立，
故最小值为－.
3．(方向2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( A )
A. B．2
C. D．2
解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.由题意可知⊥，∴O，A，C，B四点共圆．当OC为圆的直径时，|c|最大，此时||＝.
典例 (1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．
【解析】 (1)解法1：∵AC为Rt△ABC的斜边，∴AC为圆x2＋y2＝1的一条直径，故AC必经过原点，如图，则＋＝2，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点(－1,0)处时|＋＋|取得最大值，此时，＝(－2,0)，＝(－3,0)，2||＋||＝2×2＋3＝7，故|＋＋|的最大值为7.
解法2：同解法1，得|＋＋|＝|＋|.
又＝－，
∴|＋＋|＝|2＋－|
＝|－3|
＝
＝
＝≤＝7，
当且仅当∠POB＝180°时取等号，故|＋＋|的最大值为7.
解法3：同解法1，得|＋＋|＝|2＋|.
设B(cosα，sinα)，则|2＋|
＝|2(－2,0)＋(cosα－2，sinα)|
＝|(－6＋cosα，sinα)|
＝
＝≤＝7，
当cosα＝－1，即B落在点(－1,0)处时取等号．
故|＋＋|的最大值为7.
(2)由向量的数量积，知－|a||b|≤a·b≤|a||b|⇒|a||b|≥－a·b(当且仅当〈a，b〉＝π时等号成立)．
由|2a－b|≤3⇒4|a|2－4a·b＋|b|2≤9⇒9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b⇒a·b≥－(当且仅当2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π时取等号)，∴a·b的最小值为－.
【答案】 (1)B (2)－
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