2020高考数学理科大一轮复习导学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1

  第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入　知识点一　　向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2．零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．　　　　　　　　　　　　　　 1．(必修4P78A组第6题)有关向量概念，下列命题中正确的是(　D　)A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若a和b都是单位向量，则a＝bD．两个相等向量的模相等解析：A.若两个向量相等，则它们的起点和终点不一定重合；B.模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C.若a和b都是单位向量，则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D.两个相等向量的模相等是正确的． 知识点二　　向量的线性运算 2．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　A　)A．－＋   B．－－C.－   D.＋解析：如图．3．(必修4P92习题2.2B组第5题改编)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为矩形．解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．知识点三     共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　A　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝.解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则解得λ＝μ＝.1．两个要点理解向量相关概念时，抓住两个要点：大小、方向．2．两特殊向量(1)零向量的方向可任意．(2)任意方向上都有单位向量．3．运算法则两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．4．两个结论(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.　 考向一    平面向量的概念　 【例1】　(1)下列说法正确的是(　　)A．长度相等的向量叫做相等向量B．共线向量是在同一条直线上的向量C．零向量的长度等于0D．∥就是所在的直线平行于所在的直线(2)下列命题正确的是(　　)A．若|a|＝|b|，则a＝bB．若|a|>|b|，则a>bC．若a＝b，则a∥bD．若|a|＝0，则a＝0【解析】　(1)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．(2)对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不一定相同，故a＝b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，故B不正确；C显然正确；对于D，若|a|＝0，则a＝0，故D不正确，故选C.【答案】　(1)C　(2)C   　1两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；2大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；3向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. (1)给出下列命题：①若a＝b，b＝c，则a＝c；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；其中正确命题的序号是①②.(2)若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线．解析：(1)①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是①②.考向二   平面向量的线性运算【例2】　(1)如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD上，且AD＝3AE，则＝(　　)A.＋B.－C.＋D.－(2)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　)A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.【解析】　(1)由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝，＝＋，＝，＝＋，则＝(＋)，所以＝＋＝＋＋，所以＝＋＋，所以＝＋＝＋＋＋＝＋＝－，故选B.(2)由＝＋得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC，又S△ACD＝S△ABC，所以S△BCD＝1－－S△ABC＝S△ABC，所以＝.故选B.【答案】　(1)B　(2)B   　　向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．  (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　A　)A.－   B.－C.＋   D.＋(2)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，且＝x＋y，则(　D　)A．x＝－1，y＝－   B．x＝1，y＝C．x＝－1，y＝   D．x＝1，y＝－(3)已知O为△ABC内一点，满足4＝＋2，则△AOB与△AOC的面积之比为(　D　)A．11   B．12C．13   D．21解析：(1)解法1：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.解法2：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.(2)因为＝＋＝－，所以x＝1，y＝－，所以选D.(3)如图所示，延长AC到点F，使AC＝CF，以AB，AF为邻边作平行四边形ABEF，对角线AE交BC于点D，故4＝＋2＝，即点O在AE上，则△AOB与△AOC的高分别为B，C到AE的距离．由平行四边形的性质得△ADC∽△EDB，且相似比为12，即CDBD＝12，又因为△AOB，△AOC的底边均为AO，高的比等于BDDC＝21，所以△AOB与△AOC的面积之比为21.考向三   共线定理及应用方向1　判断向量共线【例3】　(1)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(　　)A．1   B．－C．1或－   D．－1或－(2)已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)A．点P在线段AB上   B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上   D．点P在△ABC外部【解析】　(1)由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.(2)由＋＋＝知：＋＋＝－，即：＝－2，故点P在线段AC上．【答案】　(1)B　(2)C方向2　三点共线问题【例4】　(1)已知数列{an}为等差数列，且满足＝a1＋a2 017，若＝λ(λ∈R)，点O为直线BC外一点，则a1 009＝(　　)A．3   B．2C．1   D.(2)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)A．   B．C．1   D．3【解析】　(1)∵数列{an}为等差数列，满足＝a1＋a2 017，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，∴a1＋a2 017＝1，∵数列{an}是等差数列，∴{an}的2a1 009＝a1＋a2 017＝1，a1 009＝.(2)∵＝，∴＝，又＝m＋＝m＋，所以m＋＝1，m＝，故选B.【答案】　(1)D　(2)B 　1.准确理解共线向量定理a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．2．共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使＝λ＋(1－λ)成立”．  1．(方向1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　D　)A.   B．2C．－   D．－2解析：由题意可知ma＋4b＝m(2,3)＋4(－1,2)＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)．∵ma＋4b与a－2b共线，∴(2m－4)·(－1)＝(3m＋8)·4.∴m＝－2，故选D.2．(方向2)在△ABC中，点H是边BC上异于端点B，C的一点，M是AH的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝.解析：∵点H是边BC上异于端点B，C的一点，∴存在实数t使得＝t(0<t<1)，∴＝＋＝＋t＝＋t(－)＝(1－t)＋t.∵M为AH中点，∴＝＝＋，∴∴λ＋μ＝＋＝.　共线定理的一个有效推广——等和线定理根据平面向量基本定理，如果，为同一平面内两个不共线的向量，那么这个平面内的任意向量都可以由，唯一线性表示：＝x＋y.特殊地，如果点C正好在直线AB上，那么x＋y＝1，反之如果x＋y＝1，那么点C一定在直线AB上．于是有三点共线结论：已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1.共线定理的推广——等和线以上讨论了点C在直线AB上的特殊情况，得到了平面向量中的三点共线结论．下面讨论点C不在直线AB上的情况．如图所示，直线DE∥AB，C为直线DE上任一点，设＝x＋y(x，y∈R)．1．等和线定义在向量起点相同的前提下，所有以与两向量终点所在的直线平行的直线上的点为终点的向量，其基底的系数和为定值，这样的线，我们称之为“等和线”．2．相关(1)当直线DE经过点P时，容易得到x＋y＝0.(2)当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为F，因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB与△PED相似，知必存在一个常数m∈R，使得＝m，则＝m＝mλ＋mμ.又＝x＋y(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m.以上过程可逆．典例1　如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设＝α＋β(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．【解析】　直线BF为m＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈[，]＝[3,4]．【答案】　[3,4]典例2　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧AB上变动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________． 【解析】　所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时m取得最大值，结合角度，不难得到mmax＝2.【答案】　21．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为.解析：如图，过点A作＝，设AF与BC的延长线交于点H，易知AF＝FH，∴DF＝BH，因此λ1＋λ2＝.2．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝，C为弧AB上的动点，若＝x＋y，则x＋3y的取值范围是[1,3]．解析：＝x＋3y()，如图，作＝，则考虑以向量，为基底．显然，当C在A点时，经过m＝1的等和线，当C在B点时，经过m＝3的等和线，这两条线分别是最近与最远的等和线，所以x＋3y的取值范围是[1,3]．