2020高考数学理科大一轮复习导学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.2

知识点一　　平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标表示

(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

(2)设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是A点的坐标，即若＝(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立．(O是坐标原点)

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　×　)

(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　)

(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．(　√　)

2．已知||＝1，||＝，⊥，点C在线段AB上，∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则等于(　B　)

A.   B．3

C.   D.

解析：如图，由已知||＝1，||＝，⊥，可得AB＝2，∠A＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD垂直于OA，垂足为D，则OD＝，CD＝，所以＝，＝，即＝＋，所以＝3.

3．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝－a＋b(用a，b表示)．

解析：因为＝3，所以＝＝(a＋b)，又因为＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.

知识点二　　平面向量的坐标运算

1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；

2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)；

3．若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；

4．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.

4．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　A　)

A．(－7，－4)   B．(7,4)

C．(－1,4)   D．(1,4)

解析：根据题意得＝(3,1)，

∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

故选A.

5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝.

解析：2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.

1．在同一基底下，向量a与数对(λ1，λ2)间建立一一对应关系；在不同的基底下，同一向量a所对应的数对不同．

2．向量坐标的几点理解

(1)点的坐标和向量坐标形式相似，但意义差异很大．

(2)向量坐标的求法．

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

3．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔＝.

考向一　平面向量基本定理的应用

【例1】　(1)(2019·长春模拟)如图所示，下列结论正确的是(　　)

①＝a＋b;  ②＝a－b；

③＝a－b;  ④＝a＋b.

A．①②   B．③④

C．①③   D．②④

(2)(2019·岳阳质检)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

【解析】　(1)①根据向量的加法法则，得＝a＋b，故①正确；②根据向量的减法法则，得＝a－b，故②错误；③＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正确；④＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④错误，故选C.

(2)法1：连接AC(图略)，由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，则＋＋＝0，得＋＋

＝0，得λ＋μ－1＋＝0.又，不共线，所以由平面向量基本定理得

解得

所以λ＋μ＝.

法2：根据题意作出图形如图所示，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，由已知易得AB＝AT，所以＝＝λ＋μ，因为T，M，N三点共线，所以λ＋μ＝.

【答案】　(1)C　(2)C

平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n等于(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：因为＝2，所以C为AB中点，故＝＋＝2，所以＝＋.由＝m，＝n，所以＝，＝，所以＝＋，因为M，P，N三点共线，故＋＝1，当m＝时，n＝.故选C.

考向二　平面向量的坐标表示

【例2】　(1)(2019·绍兴模拟)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)

A．(2,0)　　B．(－3,6)　　C．(6,2)　　D．(－2,0)

(2)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.

【解析】　(1)＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则＝(x－5，y＋6)＝(－3，6)，

所以即

(2)∵＝－＝(－3,2)，

∴＝2＝(－6,4)．

∵＝＋＝(－2,7)，

∴＝3＝(－6,21)．

【答案】　(1)A　(2)(－6,21)

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

(1)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　A　)

A.a＋b   B．－a－b

C.a＋b   D.a－b

(2)已知平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　D　)

A.   B.

C.   D.

解析：(1)设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，

所以解得

则c＝a＋b.

(2)＝＋＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，

∴＝＝.∴＝.

考向三　平面向量共线的坐标表示

【例3】　(1)若A，B，C，D四点共线，且满足＝(3a,2a)

(a≠0)，＝(2，t)，则t等于(　　)

A.   B.

C．3   D．－3

(2)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

(3)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．

【解析】　(1)因为A，B，C，D四点共线，所以∥，故3a·t＝2a·2，t＝.故选B.

(2)由题意知－2m－12＝0，m＝－6.

(3)因为b＝(2,1)，且a与b的方向相反，

所以设a＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a|＝2，

所以4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.

所以a＝(－4，－2)．

【答案】　(1)B　(2)－6　(3)(－4，－2)

(1)向量共线的两种表示形式

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)两向量共线的充要条件的作用

判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．

(1)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　A　)

A.   B.

C.   D.

(2)(2019·福州质检)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　C　)

A．4   B．6

C．8   D．9

解析：(1)＝－＝(4，－1)－(1,3)

＝(3，－4)，

∴与同方向的单位向量为＝.

(2)∵＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，

∴＝－＝(a－1,1)，

＝－＝(－b－1,2)，

∵A，B，C三点共线，

∴＝λ，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，

∴可得2a＋b＝1.

∵a>0，b>0，

∴＋＝(2a＋b)

＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，

当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故＋的最小值为8，故选C.