2020高考数学理科大一轮复习导学案：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4-5.1

选修4－5　不等式选讲　　　

知识点一　　　　绝对值三角不等式

1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

2．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

1．判断正误

(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(　×　)

(2)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　×　)

(3)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　√　)

2．(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．

解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.

3．设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|<a.

证明：因为|x－1|<，|y－2|<，

所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<＋＝a.故原不等式得证．

知识点二　　　　含绝对值的不等式的解法

1．含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法

2.|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法

(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；

(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

4．(选修4－5P20T7)不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　D　)

A．[－2,1)∪[4,7)  B．(－2,1]∪(4,7]

C．(－2，－1]∪[4,7)  D．(－2,1]∪[4,7)

解析：由题意得

即

解得不等式的解集为(－2，1]∪[4,7)．

5．不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　A　)

A．(－∞，4)  B．(－∞，1)

C．(1,4)  D．(1,5)

解析：|x－1|－|x－5|表示数轴上对应的点x到1和5的距离之差．而数轴上满足|x－1|－|x－5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x－1|－|x－5|<2的解集是(－∞，4)．

6．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝2.

解析：由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.

1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：

(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a>－b>0时，等号成立．

(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．

2．能含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．

考向一　　　　绝对值不等式的性质应用

【例1】　设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.

(1)证明：<；

(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．

【解】　(1)证明：设f(x)＝|x－1|－|x＋2|

＝

由－2<－2x－1<0，解得－<x<.

因此集合M＝，

则|a|<，|b|<.

所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.

(2)由(1)得a2<，b2<.

因为|1－4ab|2－4|a－b|2

＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)

＝16a2b2－4a2－4b2＋1

＝(4a2－1)(4b2－1)>0，

所以|1－4ab|2>4|a－b|2，

故|1－4ab|>2|a－b|.

绝对值不等式性质的应用

利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值、(2)证明不等式．

(1)若a≥2，x∈R，求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.

(2)若f(x)＝＋3|x－a|的最小值为4，求a的值．

解：(1)证明：因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，又a≥2，故|2a－1|≥3，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立．

(2)因为f(x)＝＋3|x－a|

≥＝，

所以由＝4得a＝1或a＝.

考向二　　　　含绝对值不等式的解法

方向1　“零点”讨论法解不等式

【例2】　解下列不等式．

(1)|2x＋1|－2|x－1|>0；

(2)|x＋3|－|2x－1|<＋1.

【解】　(1)法1：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，

两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，

解得x>，

所以原不等式的解集为.

法2：原不等式等价于

或

或解得x>，

所以原不等式的解集为.

(2)①当x<－3时，

原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，

解得x<10，∴x<－3.

②当－3≤x≤时，

原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，

解得x<－，∴－3≤x<－.

③当x>时，

原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<＋1，

解得x>2，∴x>2.

综上可知，原不等式的解集为xx<－或x>2.

方向2　利用图象法解不等式

【例3】　已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.

(1)画出y＝f(x)的图象；

(2)求不等式|f(x)|>1的解集．

【解】　(1)由题意得f(x)＝

故y＝f(x)的图象如图所示．

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，

当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；

当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.

故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，

f(x)<－1的解集为xx<或x>5.

所以|f(x)|>1的解集为xx<或1<x<3或x>5.

含有绝对值的不等式的常见解法

(1)对形如|x＋a|±|x－b|≥c(≤c)这种不等式问题，常用“零点分段讨论法”去掉绝对值符号化为若干个不等式组问题求解，其一般步骤为：①求零点；②划分区间，去绝对值符号；③分别解去掉绝对值符号之后的不等式；④取每个结果的并集．

(2)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

(方向1、2)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|＋a.

(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥0；

(2)若方程f(x)＝2x有三个不同的解，求a的取值范围．

解：(1)当a＝－1时，不等式f(x)≥0可化为|2x＋1|－|x|－1≥0，∴

或

或

解得x≤－2或x≥0，∴不等式f(x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)．

(2)由f(x)＝2x得a＝2x＋|x|－|2x＋1|，令g(x)＝2x＋|x|－|2x＋1|，

则g(x)

＝作出函数y＝g(x)的图象，如图所示，易知A，B(0，－1)，结合图象知，当－1<a<－时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝2x有三个不同的解，∴a的取值范围为.

考向三　　　　利用绝对值不等式求取值范围

【例4】　(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.

(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．

【解】　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

即f(x)＝

故不等式f(x)>1的解集为{x|x>}．

(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|<1成立．

若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；

若a>0，|ax－1|<1的解集为0<x<，

所以≥1，故0<a≤2.

综上，a的取值范围为(0,2]．

本题的易错点有三处：一是零点分区间时，不注意端点值能否取到，导致结果出错；二是不会转化，如本题，不懂得利用x∈0，1，把含双绝对值的不等式恒成立问题转化为含单绝对值的不等式恒成立问题，绕了一大圈，空手而归；三是混淆不等式恒成立问题与不等式有解问题，导致所求的结果出错.

(2019·石家庄质量监测)已知函数f(x)＝|ax－1|－(a－2)x.

(1)当a＝3时，求不等式f(x)>0的解集；

(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝3时，不等式可化为|3x－1|－x>0，即|3x－1|>x，

∴3x－1<－x或3x－1>x，即x<或x>，

∴不等式f(x)>0的解集为{x|x<或x>}．

(2)当a>0时，

f(x)＝

要使函数f(x)的图象与x轴无交点，

只需即1≤a<2；

当a＝0时，f(x)＝2x＋1，函数f(x)的图象与x轴有交点，不合题意；

当a<0时，f(x)＝

要使函数f(x)的图象与x轴无交点，

只需此时无解．

综上可知，若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为[1,2)．