2020高考数学理科大一轮复习导学案：第六章不等式、推理与证明6.1

第六章   不等式、推理与证明　知识点一　　两个实数比较大小 1．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是(　D　)A．v<40 km/h   B．v>40 km/hC．v≠40 km/h   D．v≤40 km/h解析：由汽车的速度v不超过40 km/h，知小于等于40 km/h.即v≤40 km/h.故选D.2．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c中最大者为a.解析：因为b－c＝－－(－)＝(＋)－(＋)，(＋)2＝9＋2，(＋)2＝9＋2，所以b－c<0，即b<c.又a－c＝－(－)＝2－＝－>0，所以a>c.所以a，b，c中最大者为a.知识点二 　不等式的性质 1．对称性：a>b⇔b<a；2．传递性：a>b，b>c⇒a>c；3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；5．可乘方：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)；6．可开方：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．3．(2019·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(　C　)A．ac2>bc2   B.>1C．a－c>b－c   D．a2>b2解析：a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；a>b，若b<0，则<1，故B错；a>b，不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a2<b2，故D错．于是选C.4．已知下列四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0.不能推出<成立的序号是③.解析：①若b>0>a，则<0<，故①正确；②若0>a>b，则ab>0，∴>，即<，故②正确；③若a>0>b，则>0>，故不能推出<，因此③不正确；④若a>b>0，则>，即<，故④正确．综上可知，不能推出<成立的是③.5．若1<α<3，－4<β<2，则－β的取值范围是.解析：由1<α<3得<<，由－4<β<2得－2<－β<4，所以－<－β<，所以－β的取值范围是.1．比较两个代数式的大小通常用作差法或作商法，也可结合函数、不等式的性质比较．2．倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0⇒<.(2)a<0<b⇒<.(3)a>b>0,0<c<d⇒>.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.　考向一 　比较大小 【例1】　(1)已知a，b，c为正数，且3a＝4b＝6c，则下列正确的是(　　)A．6c<3a<4b   B．6c<4b<3aC．3a<4b<6c   D．4b<3a<6c(2)已知a>b>0，P＝，Q＝，则P，Q的大小关系为________．【解析】　(1)令3a＝4b＝6c＝k，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，则＝＝＝<1，则3a<4b，又＝＝＝<1，则4b<6c，所以3a<4b<6c，故选C.(2)P－Q＝－＝＝＝.因为a>b>0，所以2ab>0，a－b>0，a2＋b2>0，a＋b>0，所以>0，所以P>Q.【答案】　(1)C　(2)P>Q   　1判断两个式子的大小关系的方法：作差、作商法；不等式性质法；单调性法；中间量法；特殊值法；数形结合法等.2作差法的一般步骤：作差，变形，定号，得出结论.(1)设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　B　)A．A≤B   B．A≥BC．A<B   D．A>B(2)若a＝，b＝，c＝，则(　B　)A．a<b<c   B．c<b<aC．c<a<b   D．b<a<c解析：(1)∵A≥0，B≥0，A2－B2＝a＋2＋b－(a＋b)＝2≥0，∴A≥B.(2)方法1：易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝log6251 024>1，所以b>c.即c<b<a.方法2：对于函数y＝f(x)＝，y′＝，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.考向二　　不等式的性质 【例2】　(1)若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　)A.>   B.<C.>   D.<(2)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)A．a＋<<log2(a＋b)B.<log2(a＋b)<a＋C．a＋<log2(a＋b)<D．log2(a＋b)<a＋<【解析】　(1)由c<d<0⇒－>－>0，又a>b>0，故由不等式性质，得－>－>0，所以<.(2)解法1：因为a>b>0，且ab＝1，所以a>1,0<b<1，所以a＋＝a＋a＝2a>2，log2(a＋b)＝log2a＋>log2＝log22＝1，＝<1.可知最小，由选项知选B.解法2：选择题也可以考虑直接赋值，关键是要看出由a>b>0，且ab＝1可以得出a>1>b>0，然后取符合要求的值，可以取a＝2，b＝，比较4，，log2，则易得答案为B.【答案】　(1)D　(2)B   1判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.2在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.　  (1)若a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<或b>”的(　A　)A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件   D．既不充分也不必要条件(2)若<<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式是(　C　)A．①②   B．②③C．①④   D．③④(3)(2018·北京卷)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为1，－1(答案不唯一)．解析：(1)对于0<ab<1，如果a>0，则b>0，a<成立，如果a<0，则b<0，b>成立，因此“0<ab<1”是“a<或b>”的充分条件；反之，若a＝－1，b＝2，结论“a<或b>”成立，但条件0<ab<1不成立，因此“0<ab<1”不是“a<或b>”的必要条件．即“0<ab<1”是“a<或b>”的充分不必要条件．(2)因为<<0，所以b<a<0，a＋b<0，ab>0，所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b，因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是①④.(3)由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1.(答案不唯一，满足a>0，b<0即可)考向三　不等式性质的应用 【例3】　(1)三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则的取值范围是(　　)A.   B.C．[2,3]   D．[1,2](2)已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，则9x＋y的取值范围是________．【解析】　(1)三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，∴1≤＋≤2，≤1＋≤，即－≤－1－≤－，∴1－≤－1≤2－，即即∴≤≤，故选A.(2)设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，则9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，于是比较两边系数得得a＝－6，b＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤，所以－≤9x＋y≤.【答案】　(1)A　(2)   　运用不等式的性质解决问题时，常用的方法是正确使用不等式的性质直接推导，并注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.  (1)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是(－4,0)．解析：∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4,0)．(2)已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解：因为二次函数y＝f(x)的图象过原点，所以设y＝f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，由题意知解法1：(待定系数法)由题意知f(－2)＝4a－2b，设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]．因为二次函数y＝f(x)的图象过原点，所以设y＝f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，由题意知解法1：(待定系数法)由题意知f(－2)＝4a－2b，设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]．解法2：(运用方程思想)由 得所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，即f(－2)的取值范围是[6,10]．