2020高考数学理科大一轮复习导学案：第六章不等式、推理与证明6.4

 知识点一　基本不等式 1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．几个重要的不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．　　　　　　　　　　　　　　 1．判断正误(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　)(2)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件．(　√　)(3)若a≠0，则a2＋的最小值为2.(　√　)知识点二　　利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则1．如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小)2．如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)2．(必修5P100习题3.4A组第1(2)题改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　C　)A．80  B．77C．81  D．82解析：xy≤2＝2＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立．故选C.3．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　C　)A．最大值为0   B．最小值为0C．最大值为－4   D．最小值为－4解析：f(x)≤－2－2＝－4，当且仅当x＝－1时，f(x)max＝－4.4．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为.解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立．利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．　 考向一　　利用基本不等式求最值 【例1】　(1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(2)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．【解析】　(1)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－（5－4x＋）＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(2)＝（1＋）（1＋）＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．【答案】　(1)1　(2)9若将本例(2)中的条件不变，设问改为：则＋的最小值为4.解析：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立． 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．  (1)设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是(　D　)A．40   B．10C．4   D．2(2)(2019·南昌摸底调研)已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为4.解析：(1)因为x＋4y＝40，且x>0，y>0，所以x＋4y≥2＝4.(当且仅当x＝4y时取“＝”)所以4≤40.所以xy≤100.所以lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.所以lgx＋lgy的最大值为2.(2)∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.考向二　　基本不等式的实际应用 【例2】　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解】　(1)设所用时间为t＝(h)，y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100].(2)y＝＋x≥26，当且仅当＝x，即x＝18时等号成立．故当x＝18千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元． 　　应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(2)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(3)还原为实际问题，写出答案．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30.解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为f(x)＝×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.考向三　　基本不等式与函数的综合应用 【例3】　(1)对函数f(x)，如果存在x0≠0使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)存在奇对称点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，1)   B．(1，＋∞)C．(e，＋∞)   D．[1，＋∞)(2)(2019·洛阳模拟)设函数f(x)＝－sin2x的最小值为m，且与m对应的x的最小正值为n，则m＋n＝________.(2)f(x)＝＋＝＋－，因为cos2x＋2>0，所以f(x)≥2×－＝0，当且仅当＝，即cos2x＝－时等号成立，所以x的最小正值为n＝，所以m＋n＝.【答案】　(1)B　(2)　求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.(1)已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是(　C　)A.   B.C．1   D．2(2)已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝logax＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则＋的最小值为2.解析：(1)由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋＋2≤－2＋2，当且仅当x＝－时取等号，所以解得a＝1，故选C.(2)因为函数g(x)＝logax＋1(a>0且a≠1)的定点为(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，所以m＋n－2＝0，即＋＝1，所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝2，当且仅当＝，即m2＝n2时取等号，所以＋的最小值为2.　 合理配凑　妙解基本不等式利用基本不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点，应用该公式时需要满足“一正、二定、三相等”，在运用基本不等式时，常常遇到不能直接套用公式的情况，这时需要对题中的关系式进行适当的配凑变形，使问题快速解决．本文对运用基本不等式时的配凑方法适当概括，以帮助考生理清解题思路，妙用基本不等式．1．妙用常值“1”，变形求解典例1　已知x∈(0，)，求函数f(x)＝＋的最小值．【解】　因为＝，且2x＋(1－2x)＝1，所以f(x)＝＋＝[2x＋(1－2x)]·(＋)＝4＋9＋＋，又x∈(0，)，所以1－2x∈(0,1)，所以f(x)≥13＋2＝25，当且仅当＝时等号成立，又x∈(0，)，所以x＝时，等号成立．故函数f(x)＝＋的最小值为25.【点评】　当两个式子之和为定值(无论是否为1)，均可灵活运用“1”进行变形，进而迅速、准确求解．2．合理拆项分组，拼凑定积典例2　设a>b>0，则a＋＋的最小值为(　　)A．2   B．3C．4   D．3＋2【解析】　a＋＋＝(a－b)＋＋b＋≥2＋2＝4，当且仅当即时等号成立．故选C.【答案】　C【点评】　本题解答的关键是将变量a拆解为a－b＋b，以及拆项后的恰当组合，同时在利用基本不等式解题时要注意基本不等式适用的条件，即“一正、二定、三相等”；切记要注意等号成立的条件．3．消元法，多元变单元典例3　已知a>b>1且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为________．【解析】　∵2logab＋3logba＝2logab＋＝7，∴2(logab)2－7logab＋3＝0，∴(2logab－1)(logab－3)＝0，∴logab＝或logab＝3.又a>b>1，∴logab＝＝loga，b2＝a.∴a＋＝a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.【答案】　3【点评】　本题利用对数的运算得到a，b的关系，利用该关系进行消元，转化为单变量的关系式，进而构造基本不等式求得最值．