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    2020高考数学理科大一轮复习导学案:第六章不等式、推理与证明6.5

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    2020高考数学理科大一轮复习导学案:第六章不等式、推理与证明6.5

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      知识点一  合情推理 1归纳推理(1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.(2)特点:归纳推理是由部分整体,由个别一般的推理.2类比推理(1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.(2)特点:类比推理是由特殊特殊的推理.1.已知数列{an}中,a11n2时,anan12n1,依次计算a2a3a4后,猜想an的表达式是( C )Aan3n1   Ban4n3Cann2   Dan3n1解析:a11a24a39a416,猜想ann2.2.在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为18.解析:由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的底面积之比为14,对应高之比为12,所以体积比为18.知识点一  演绎推理 1模式:三段论(1)大前提——已知的一般原理(2)小前提——所研究的特殊情况(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.2.特点:演绎推理是由一般特殊的推理.3因为指数函数yax(a>0a1)是增函数(大前提),又yx是指数函数(小前提),所以函数yx是增函数(结论),上面推理的错误在于( A )A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错解析:a>1时,yax为增函数;当0<a<1时,yax为减函数,故大前提错误.4.正弦函数是奇函数,因为f(x)sin(x1)是正弦函数,所以f(x)sin(x1)是奇函数,以上推理的错误原因是小前提错误.解析:由三角函数的定义可知f(x)sin(x1)不是正弦函数,即小前提错误.1类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误.2.合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理.(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向.3.演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理.它常用来证明和推理数学问题,解题时应注意推理过程的严密性,书写格式的规范性.  考向一  归纳推理 【例1】 (1)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其肩上两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为(  )A2 017×22 013  B2 017×22 014C2 017×22 015  D2 016×22 016(2)(2019·湖南五市十校联考)图一是美丽的勾股树,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1勾股树,重复图二的作法,得到图三为第2勾股树,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n勾股树所有正方形的面积的和为(  )An   Bn2Cn1   Dn1【解析】 (1)如图,1 2 3 4 5 63 5 7 9 118 12 16 2020 28 3648 64112当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8232×(31)当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20242×(41)当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48252×(51)当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112262×(61)归纳推理,得当第一行2 016个数时,最后一行仅一个数,为22 0162×(2 0161).故选B.(2)最大的正方形面积为1,当n1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n1,故选D.【答案】 (1)B (2)D 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与数学式子有关的推理,观察每个式子的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.(1)(2019·山东淄博模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗:挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.在这里,我们称形如以下形式的等式具有穿墙术2345,则按照以上规律,若8具有穿墙术,则n( C )A35  B48C63  D80(2)(2019·河南安阳一模)如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(1,-1)处标4,点(1,0)处标5,点(1,1)处标6,点(0,1)处标7……,以此类推,则标2 0172的格点的坐标为( A )A(1 009,1 008)  B(1 008,1 007)C(2 017,2 016)  D(2 016,2 015)解析:(1)根据规律得31×3,82×4,153×5,244×6,所以n7×963,故选C.(2)(1,0)处标1,即12;点(2,1)处标9,即32;点(3,2)处标25,即52……,由此推断点(n1n)处标(2n1)2,当2n12 017时,n1 008,故标2 0172的格点的坐标为(1 0091 008).故选A.考向二  类比推理 【例2】 (2019·湖北孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)lr,二维测度(面积)Sπr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)Sr2,三维测度(体积)Vπr3,应用合情推理,若四维空间中,超球的三维测度Vr3,则其四维测度W(  )Ar4   Br4   Cr4   Dr4【解析】 二维空间中,圆的一维测度(周长)lr,二维测度(面积)Sπr2r2)r,三维空间中,球的二维测度(表面积)Sr2,三维测度(体积)Vπr3r2,四维空间中,超球的三维测度Vr3(2πr4)r3超球的四维测度Wr4,故选A.【答案】 A类比推理的应用类型类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法.(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解.(2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键.(3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4S8S4S12S8成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4成等比数列.(2)如图甲所示,在直角三角形ABC中,ACABADBCD是垂足,则有AB2BD·BC,该结论称为射影定理.如图乙所示,在三棱锥A­BCD中,AD平面ABCAO平面BCDO为垂足,且OBCD内,类比直角三角形中的射影定理,则有SSBCO·SBCD.解析:(1)由等差数列的特征和等比数列的特征,运用类比推理的思维方法可得T4成等比数列,应填答案.(2)从题中条件不难发现:图甲中的ACAB对应图乙中的AD平面ABC,图甲中的ADBC对应图乙中的AO平面BCD,因此在类比的结论中,图甲中的边AB对应图乙中的ABC,图甲中的BC对应图乙中的BCD,图甲中的BD对应图乙中的BOC.故有SSBCO·SBCD.考向三  演绎推理 【例3】 (2019·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,66名学生参加数学竞赛选拔赛,今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名,甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜2号,3号,4号都不可能;丁猜是1号,2号,4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对,则猜对者是(  )A.甲    B.乙    C.丙    D.丁【解析】 1号是第1名,则甲错,乙对,丙对,丁对,不符合题意;2号是第1名,则甲错,乙对,丙错,丁对,不符合题意;3号是第1名,则甲对,乙对,丙错,丁错,不符合题意;4号是第1名,则甲错,乙对,丙错,丁对,不符合题意;5号是第1名,则甲对,乙对,丙对,丁错,不符合题意;6号是第1名,则甲错,乙错,丙对,丁错,符合题意.故猜对者是丙.【答案】 C 这种形式的推理近年在高考中出现的频率很高,应引起重视.解决这类问题可以通过对选项进行一一检验即可找出正确答案,也可以通过列表格找出正确答案.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( D )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析:由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩,可推出乙和丙一优一良,又因为乙看过丙的成绩,所以乙可以推测出自己的成绩.因为已经推出乙和丙一优一良,所以甲和丁也是一优一良,并且条件已给出丁看过甲的成绩,所以丁也可以推测出自己的成绩.故选D.  以一类多项式为背景的研究性学习随着数学新课程改革的不断推进,数学研究性学习已成为学生学习的主要方式,研究性学习不仅有助于发挥学生学习的主动性,激发学生的学习兴趣,还能使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程,让学生经历数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识.笔者这学期任教高三,也在不断努力尝试进行数学研究性学习的教学,本文介绍笔者在教学中使用过的一个案例.【案例】 由倍角公式cos2x2cos2x1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有cos3xcos(2xx)cos2xcosxsin2xsinx(2cos2x1)cosx2(sinxcosx)sinx2cos3xcosx2(1cos2x)cosx4cos3x3cosx,可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnxPn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式.(1)请尝试求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x(2)利用结论:cos3x4cos3x3cosx,求出sin18°的值(3×18°90°2×18°)本例是一道阅读题,给出切比雪夫多项式的定义,由定义可知:任意一个cosnx都可以表示为cosxn次多项式.第(1)问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决:cos4x2cos22x12(2cos2x1)218cos4x8cos2x1.(2)问根据所给提示3×18°90°2×18°,自然想到对x进行赋值.x18°,可得cos(3×18°)4cos318°3cos18°.另一方面cos(3×18°)cos54°sin36°sin(2×18°)2sin18°cos18°.所以4cos318°3cos18°2sin18°cos18°化简后可得:2sin18°4cos218°34(1sin218°)3解得sin18°.【评价】 以切比雪夫多项式为背景命制的高考试题不在少数,一些试题容易看出是以切比雪夫多项式作为背景的,而有一些试题虽然表面上看不出与多项式有何关联,但细想,仍与切比雪夫多项式有着紧密的联系.观察下列等式:cos2α2cos2α1cos4α8cos4α8cos2α1cos6α32cos6α48cos4α18cos2α1cos8α128cos8α256cos6α160cos4α32cos2α1cos10αmcos10α1 280cos8α1 120cos6αncos4αpcos2α1.可以推测,mnp962.解析:本题考查的是学生合情推理的能力,命题的基本着力点是切比雪夫多项式,归纳易得m29512p5×1050,本题的难点在于无法归纳出n的值,需要抓住多项式的整体结构特征cos01,得到各项的系数和为常数1,从而m1 2801 120np11,得到n=-400,所以mnp962. 

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