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2020高考数学理科大一轮复习导学案:第六章不等式、推理与证明6.5
展开知识点一 合情推理 1.归纳推理(1)定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.(2)特点:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.2.类比推理(1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.(2)特点:类比推理是由特殊到特殊的推理.1.已知数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后,猜想an的表达式是( C )A.an=3n-1 B.an=4n-3C.an=n2 D.an=3n-1解析:a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.2.在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为18.解析:由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的底面积之比为14,对应高之比为12,所以体积比为18.知识点一 演绎推理 1.模式:三段论(1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.2.特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.3.“因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)是增函数(大前提),又y=x是指数函数(小前提),所以函数y=x是增函数(结论)”,上面推理的错误在于( A )A.大前提错误导致结论错B.小前提错误导致结论错C.推理形式错误导致结论错D.大前提和小前提错误导致结论错解析:当a>1时,y=ax为增函数;当0<a<1时,y=ax为减函数,故大前提错误.4.正弦函数是奇函数,因为f(x)=sin(x+1)是正弦函数,所以f(x)=sin(x+1)是奇函数,以上推理的错误原因是小前提错误.解析:由三角函数的定义可知f(x)=sin(x+1)不是正弦函数,即小前提错误.1.类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比,那么就会犯机械类比的错误.2.合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理.(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向.3.演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理.它常用来证明和推理数学问题,解题时应注意推理过程的严密性,书写格式的规范性. 考向一 归纳推理 【例1】 (1)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为( )A.2 017×22 013 B.2 017×22 014C.2 017×22 015 D.2 016×22 016(2)(2019·湖南五市十校联考)图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )A.n B.n2C.n-1 D.n+1【解析】 (1)如图,1 2 3 4 5 63 5 7 9 118 12 16 2020 28 3648 64112当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8=23-2×(3+1);当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20=24-2×(4+1);当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48=25-2×(5+1);当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112=26-2×(6+1).归纳推理,得当第一行2 016个数时,最后一行仅一个数,为22 016-2×(2 016+1).故选B.(2)最大的正方形面积为1,当n=1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n+1,故选D.【答案】 (1)B (2)D 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号可解.(2)与数学式子有关的推理,观察每个式子的特点,注意是纵向看,找到规律后可解.(3)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.(1)(2019·山东淄博模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2=,3=,4=,5=,则按照以上规律,若8=具有“穿墙术”,则n=( C )A.35 B.48C.63 D.80(2)(2019·河南安阳一模)如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,……,以此类推,则标2 0172的格点的坐标为( A )A.(1 009,1 008) B.(1 008,1 007)C.(2 017,2 016) D.(2 016,2 015)解析:(1)根据规律得3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,…,所以n=7×9=63,故选C.(2)点(1,0)处标1,即12;点(2,1)处标9,即32;点(3,2)处标25,即52;……,由此推断点(n+1,n)处标(2n+1)2,当2n+1=2 017时,n=1 008,故标2 0172的格点的坐标为(1 009,1 008).故选A.考向二 类比推理 【例2】 (2019·湖北孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,则其四维测度W=( )A.2πr4 B.3πr4 C.4πr4 D.6πr4【解析】 二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,(πr2)′=2πr,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,′=4πr2,四维空间中,“超球”的三维测度V=8πr3,∵(2πr4)′=8πr3,∴“超球”的四维测度W=2πr4,故选A.【答案】 A类比推理的应用类型类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法.(1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解.(2)类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键.(3)类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移.(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4,,成等比数列.(2)如图甲所示,在直角三角形ABC中,AC⊥AB,AD⊥BC,D是垂足,则有AB2=BD·BC,该结论称为射影定理.如图乙所示,在三棱锥ABCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O为垂足,且O在△BCD内,类比直角三角形中的射影定理,则有S=S△BCO·S△BCD.解析:(1)由等差数列的特征和等比数列的特征,运用类比推理的思维方法可得T4,,成等比数列,应填答案.(2)从题中条件不难发现:图甲中的AC⊥AB对应图乙中的AD⊥平面ABC,图甲中的AD⊥BC对应图乙中的AO⊥平面BCD,因此在类比的结论中,图甲中的边AB对应图乙中的△ABC,图甲中的BC对应图乙中的△BCD,图甲中的BD对应图乙中的△BOC.故有S=S△BCO·S△BCD.考向三 演绎推理 【例3】 (2019·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛,今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名,甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜2号,3号,4号都不可能;丁猜是1号,2号,4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对,则猜对者是( )A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】 若1号是第1名,则甲错,乙对,丙对,丁对,不符合题意;若2号是第1名,则甲错,乙对,丙错,丁对,不符合题意;若3号是第1名,则甲对,乙对,丙错,丁错,不符合题意;若4号是第1名,则甲错,乙对,丙错,丁对,不符合题意;若5号是第1名,则甲对,乙对,丙对,丁错,不符合题意;若6号是第1名,则甲错,乙错,丙对,丁错,符合题意.故猜对者是丙.【答案】 C 这种形式的推理近年在高考中出现的频率很高,应引起重视.解决这类问题可以通过对选项进行一一检验即可找出正确答案,也可以通过列表格找出正确答案.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( D )A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩解析:由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩,可推出乙和丙一优一良,又因为乙看过丙的成绩,所以乙可以推测出自己的成绩.因为已经推出乙和丙一优一良,所以甲和丁也是一优一良,并且条件已给出丁看过甲的成绩,所以丁也可以推测出自己的成绩.故选D. 以一类多项式为背景的研究性学习随着数学新课程改革的不断推进,数学研究性学习已成为学生学习的主要方式,研究性学习不仅有助于发挥学生学习的主动性,激发学生的学习兴趣,还能使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程,让学生经历数学发现和创造的历程,发展他们的创新意识.笔者这学期任教高三,也在不断努力尝试进行数学研究性学习的教学,本文介绍笔者在教学中使用过的一个案例.【案例】 由倍角公式cos2x=2cos2x-1,可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式.对于cos3x,我们有cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx=(2cos2x-1)cosx-2(sinxcosx)sinx=2cos3x-cosx-2(1-cos2x)cosx=4cos3x-3cosx,可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式.一般地,存在一个n次多项式Pn(t),使得cosnx=Pn(cosx),这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式.(1)请尝试求出P4(t),即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x;(2)利用结论:cos3x=4cos3x-3cosx,求出sin18°的值(3×18°=90°-2×18°).本例是一道阅读题,给出切比雪夫多项式的定义,由定义可知:任意一个cosnx都可以表示为cosx的n次多项式.第(1)问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决:cos4x=2cos22x-1=2(2cos2x-1)2-1=8cos4x-8cos2x+1.第(2)问根据所给提示3×18°=90°-2×18°,自然想到对x进行赋值.令x=18°,可得cos(3×18°)=4cos318°-3cos18°.另一方面cos(3×18°)=cos54°=sin36°=sin(2×18°)=2sin18°cos18°.所以4cos318°-3cos18°=2sin18°cos18°化简后可得:2sin18°=4cos218°-3=4(1-sin218°)-3,解得sin18°=.【评价】 以切比雪夫多项式为背景命制的高考试题不在少数,一些试题容易看出是以切比雪夫多项式作为背景的,而有一些试题虽然表面上看不出与多项式有何关联,但细想,仍与切比雪夫多项式有着紧密的联系.观察下列等式:①cos2α=2cos2α-1;②cos4α=8cos4α-8cos2α+1;③cos6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1;④cos8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1;⑤cos10α=mcos10α-1 280cos8α+1 120cos6α+ncos4α+pcos2α-1.可以推测,m-n+p=962.解析:本题考查的是学生合情推理的能力,命题的基本着力点是切比雪夫多项式,归纳易得m=29=512,p=5×10=50,本题的难点在于无法归纳出n的值,需要抓住多项式的整体结构特征cos0=1,得到各项的系数和为常数1,从而m-1 280+1 120+n+p-1=1,得到n=-400,所以m-n+p=962.