2020高考数学理科大一轮复习导学案：第八章平面解析几何8.5


　

知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

1．判断正误
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　×　)
(2)动点P到两定点A(0，－2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．(　×　)
2．已知动点P(x，y)的坐标满足 ＋＝16，则动点P的轨迹方程为＋＝1.
解析：由等式关系可知，点P(x，y)到两定点(0,7)以及(0，－7)的距离之和等于16，且距离之和大于两定点间的距离，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以点(0,7)和点(0，－7)为焦点，长半轴长为8的椭圆，其方程为＋＝1.
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质



3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　A　)
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：∵△AF1B的周长为4，∴4a＝4，∴a＝，∵离心率为，∴c＝1，∴b＝＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选A.
4．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为(　C　)
A. B.
C. D.
解析：不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2,0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
5．(2018·浙江卷)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，
得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.

1．椭圆方程中的a，b，c
(1)a，b，c关系：a2＝b2＋c2.
(2)e与：因为e＝＝＝，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－.
　
考向一 椭圆的定义
【例1】　(1)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　)
A．2 B．6
C．4 D．12
(2)F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A．7 B.
C. D.
【解析】　(1)由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
(2)由题意得a＝3，b＝，c＝，
∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6.
∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.
∴|AF1|＝.∴△AF1F2的面积S＝××2×＝.
【答案】　(1)C　(2)C




椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等.


(1)椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为(　D　)
A．5 B．6
C．7 D．8
(2)(2019·河北衡水中学调研)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为－5.
解析：(1)由椭圆的定义知点P到另一个焦点的距离是10－2＝8.
(2)由椭圆的方程可知F2(3,0)，
由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|.
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)
＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，
当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，
又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5.
考向二 椭圆的标准方程
【例2】　(1)(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
(2)(2019·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】　(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，
即2a＝2×2c，＝，
又c2＝a2－b2，联立
得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.
【答案】　(1)D　(2)A




(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式.



(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为＋＝1.
(2)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
(2)椭圆x2＋＝1(0