知识点一　　　　频率与概率

1．在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件A的概率．记作P(A)．

2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的．(　×　)

(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值．(　√　)

(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　√　)

(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率．(　×　)

2．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：

经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：

(1)90分以上的概率：0.07.

(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：0.1.

解析：(1)＝0.07.

(2)＝0.1.

知识点二　　　　事件的关系与运算

3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么(　B　)

A．甲是乙的充分但不必要条件

B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

解析：对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立．

4．(人教A必修3P121第4题)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　D　)

A．至多有一次中靶  B．两次都中靶

C．只有一次中靶  D．两次都不中靶

解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．

知识点三　　　　概率的基本性质

1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

2．必然事件的概率P(E)＝1.

3．不可能事件的概率P(F)＝0.

4．概率的加法公式．

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

5．对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

5．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：

则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是0.74.

解析：由表格知，至少有2人排队的概率P＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.

6．袋中装有除颜色外完全相同的红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回地从中任取3个球，则恰有2个球同色的概率为.

解析：从装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个的袋中无放回地任取3个球，共有C＝20(种)取法，其中恰有2个球同色的取法有C·C＝12(种)，所以恰有2个球同色的概率为P＝＝.

1．频率与概率

频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事件发生的可能性的大小．

2．互斥与对立

对立事件一定互斥，但互斥事件不一定对立．

3．概率加法公式的注意点

(1)要确定A，B互斥方可运用公式．

(2)A，B为对立事件时并不一定A与B发生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立．

考向一　　　随机事件的关系判断

【例1】　(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是(　　)

A．A与B是不可能事件

B．A＋B＋C是必然事件

C．A与B不是互斥事件

D．B与C既是互斥事件也是对立事件

(2)一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为，则概率是的事件是(　　)

A．恰有一个红球  B．两个小球都是白球

C．至多有一个红球  D．至少有一个红球

【解析】　(1)“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B选项都不正确；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D不正确．

(2)因为＝1－，所以概率是的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．

【答案】　(1)C　(2)C

1.互斥、对立事件的判别方法

(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．

(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件．

2．解答本例(1)不要忽视了随机事件的所有可能情况，甲既可以分得语文书，也可以分得数学书、英语书．

(1)设A与B是互斥事件，A，B的对立事件分别记为，，则下列说法正确的是(　C　)

A．A与互斥

B.与互斥

C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B)

D．P(＋)＝1

(2)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是(　C　)

A．①  B．②④

C．③  D．①③

解析：(1)根据互斥事件的定义可知，A与，与都有可能同时发生，所以A与互斥，与互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋P(B)正确；与既不一定互斥，也不一定对立，所以D错误．

(2)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数．

其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．

又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．

考向二　　　　随机事件的频率与概率

【例2】　已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：

(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．

【解】　(1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝＝，游客人数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120(百人)．

(2)从5天中任选两天的选择方法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中游客等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3种，故所求概率为.

事件A发生的频率是利用频数nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率.

某鲜花店将一个月(30天)某品种鲜花的日销售量与销售天数统计如下表，将日销售量在各区间的销售天数占总天数的值视为概率.

(1)求这30天中日销售量低于100枝的概率；

(2)若此花店在日销售量低于100枝的时候选择两天做促销活动，求这两天恰好是在日销售量低于50枝时的概率．

解：(1)设鲜花店日销售量为x枝，

则P(0<x<50)＝＝，P(50≤x<100)＝＝，所以这30天中日销售量低于100枝的概率

P＝＋＝.

(2)日销售量低于100枝共有8天，从中任选两天做促销活动，共有28种情况；日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天做促销活动，共有3种情况．

所以所求事件发生的概率P＝.

考向三　　　　互斥事件与对立事件的概率

【例3】　某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.

(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)

【解】　(1)由已知得x＋30＝45,25＋y＋10＝55，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为

＝1.9(分钟)．

(2)方法1：记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝.

因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

方法2：记A表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，则A的对立事件为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，由题表，知P()＝＝.

所以P(A)＝1－P()＝1－＝.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由PA＝1－P()求解.当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法.

某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：

(1)P(A)，P(B)，P(C)；

(2)1张奖券的中奖概率；

(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．

解：(1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.故事件A，B，C的概率分别为，，.

(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.

∵A、B、C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.故1张奖券的中奖概率为.

(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－＝.

故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.