2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第1章第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称语言表示符号表示命题的否定全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)[常用结论]1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，否命题是“若綈p，则綈q”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“3≥2”是真命题．(　　)(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题．(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．命题“∃x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是(　　)A．∀x∈R，x2－x－1≤0B．∀x∈R，x2－x－1＞0C．∃x0∈R，x－x0－1≤0D．∃x0∈R，x－x0－1≥0A　[特称命题的否定是全称命题，故选A.]3．下列命题中的假命题是(　　)A．∃x0∈R，lg x0＝1B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0C　[当x＝0时，x3＝0，故选项C错误，故选C.]4．(教材改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)A．1   B．2C．3   D．4B　[p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．[－8,0]　[当a＝0时，不等式显然成立．当a≠0时，依题意知解得－8≤a＜0.综上可知－8≤a≤0.] 全称命题、特称命题1. 命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2D　[结合全(特)称命题的否定形式可知，D选项正确．]2．(2019·商丘模拟)已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)＜0，则(　　)A．p是假命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0B．p是假命题，綈p：∃x∈，f(x)≥0C．p是真命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0D．p是真命题，綈p：∃x∈，f(x)≥0C　[易知f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)＜0，所以命题p：∃x∈，f(x)＜0是真命题，綈p：∀x∈，f(x)≥0，故选C.]3．下列四个命题：p1：∃x0∈(0，＋∞)，x0＜x0；p2：∃x0∈(0,1)，logx0＞logx0；p3：∀x∈(0，＋∞)，x＞logx；p4：∀x∈，x＜logx.其中的真命题是(　　)A．p1，p3　　 B．p1，p4C．p2，p3   D．p2，p4D　[对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有x0＞x0成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log ＝log＞log 成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝log x在上的图象可以判断p4是真命题．] [规律方法]　(1)全(特)称命题的否定方法：∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)，简记：改量词，否结论．(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立． 判断含有逻辑联结词的命题的真假【例1】　(1)若命题“p∨q”是真命题，“綈p为真命题”，则(　　)A．p真，q真   B．p假，q真C．p真，q假   D．p假，q假(2)(2019·山师大附中模拟)设命题p：函数f(x)＝2x＋2－x在R上递增，命题q：△ABC中，A＞B⇔sin A＞sin B，下列命题为真命题的是(　　)A．p∧q   B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q   D．(綈p)∧(綈q)(1)B　(2)C　[(1)因为綈p为真命题，所以p为假命题，又因为p∨q为真命题，所以q为真命题．(2)f(x)＝2x＋2－x是复合函数，在R上不是单调函数，命题p是假命题，在△ABC中，A＞B⇔sin A＞sin B成立，命题q是真命题，所以(綈p)∧q为真，故选C.][规律方法]　“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题真假的判断步骤1确定命题的构成形式；2判断命题p，q的真假；3根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假 已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是(　　)A．②③   B．①②④C．①③④   D．①②③④D　[由题意可知：p，q均为真命题，∴p∧q是真命题，p∧(綈q)是假命题；(綈p)∨q是真命题；(綈p)∨(綈q)是假命题，故①②③④均正确．]由命题的真假确定参数的取值范围【例2】　(1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)A.   B.C.   D.(2)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．(1)A　(2)(－∞，0)∪　[(1)当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥，故选A.(2)当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0成立”⇔a＝0或所以0≤a＜4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假．所以若p真q假，则0≤a＜4，且a＞，所以＜a＜4；若p假q真，则即a＜0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪.][母题探究]　若将本例(1)中“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？[解]　当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，所以m≥，即m的取值范围为.[规律方法]　根据全特称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式组，再通过解方程或不等式组求出参数的值或范围. (2019·辽宁五校联考)已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，0)   B．[0,4]C．[4，＋∞)   D．(0,4)D　[因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故选D.]1．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p为(　　)A．∀n∈N，n2＞2n　　　 B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n   D．∃n∈N，n2＝2nC　[因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．故选C.]2．(2013·全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)A．p∧q   B．綈p∧qC．p∧綈q   D．綈p∧綈qB　[当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x＜3x，∴p：∀x∈R,2x＜3x是假命题．如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，∴q：∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．∴p∧q为假命题，排除A.∴綈p为真命题，∴綈p∧q是真命题，选B.]