2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第2章第2节　函数的单调性与最值


第二节　函数的单调性与最值
[考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．

1．函数的单调性
(1)单调函数的定义

增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
[常用结论]
1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＞0⇔f(x)在D上是增函数，＜0⇔f(x)在D上是减函数．
2．对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]．
3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
4．函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
5．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)＜f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　)
(3)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)
(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
A　[y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，故A正确．]
3．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－2，＋∞) D．(－∞，－2)
B　[由题意可知a＜0，而函数g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a，
∴g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(－∞，2)．]
4．若函数f(x)是R上的减函数，且f(a2－a)＜f(a)，则a的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
B　[由题意得a2－a＞a，
解得a＞2或a＜0，故选B.]
5．(教材改编)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2　　[易知函数f(x)＝在x∈[2,6]上为减函数，
故f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.]


确定函数的单调性(区间)

【例1】　(1)(2019·石嘴山模拟)函数y＝ln(－x2＋2x＋3)的单调减区间是(　　)
A．(－1,1] B．[1,3)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
(1)B　[令t＝－x2＋2x＋3，由t＞0得－1＜x＜3，故函数的定义域为(－1,3)，要求函数y＝ln(－x2＋2x＋3)的单调减区间，由复合函数单调性可知，只需求t＝－x2＋2x＋3在(－1,3)上的减区间，即[1,3)．]
(2)[解]　法一：设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．
法二：f′(x)＝
＝＝－.
当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上递减；
当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上递增．
[规律方法]　(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
(2)①函数单调性的判断方法有：a.定义法；b.图象法；c.利用已知函数的单调性；d.导数法.
②函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.)
(1)(2019·北京模拟)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝sin x
C．y＝2－x D．y＝log(x＋1)
(2)y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为________．
(1)A　(2)(－∞，－1]，[0,1]　[(1)A项是[－1，＋∞)上的增函数，B项不是单调函数，C项是R上的减函数，D项是(－1，＋∞)上的减函数．
(2)由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x＜0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．
由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递增区间为(－∞，－1]，[0,1]．]
求函数的最值


【例2】　(1)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,2] B．[－1,0]
C．[1,2] D．[0,2]
(2)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
(3)函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．
(1)D　(2)3　(3)　[(1)当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时取得最小值2＋a，
∵f(x)的最小值为f(0)，
∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，
此时的最小值为f(0)＝a2，
故2＋a≥a2得－1≤a≤2.
又a≥0，得0≤a≤2.故选D.
(2)∵f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上是单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3.
(3)令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，当t＝，即x＝时，ymax＝.]
[规律方法]　求函数最值(值域)的常用方法及适用类型
(1)单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域).
(2)图象法：能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域).
(3)基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域).
(4)导数法：若f(x)是三次、分式以及含ex，ln x，sin x，cos x结构的函数且f′(x)可求，可用导数法求函数的最值(值域).
(1)函数f(x)＝(x＞1)的最小值为________．
(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2 x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
(1)8　(2)1　[(1)f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，
当且仅当x－1＝，
即x＝4时，f(x)min＝8.
(2)法一：在同一坐标系中，
作函数f(x)，g(x)图象，
依题意，h(x)的图象如图所示．
易知点A(2,1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
法二：依题意，h(x)＝
当0＜x≤2时，h(x)＝log2 x是增函数，
当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，
所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.]


函数单调性的应用

►考法1　比较大小
【例3】　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
D　[根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a＝f＝f，f(2)＞f(2.5)＞f(3)，所以b＞a＞c.]
►考法2　解抽象不等式
【例4】　f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(x－8)≤2的解集为________．
(8,9]　[因为2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2可得f[x(x－8)]≤f(9)，f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8 ►考法3　求参数的取值范围
【例5】　已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＞0成立，那么a的取值范围是(　　)
A．(1,2) B.
C. D.
C　[由已知条件得f(x)为增函数，
所以解得≤a＜2，
所以a的取值范围是.故选C.]
[规律方法]　函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
已知函数f(x)＝log(x2－ax＋3a)在[1，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C. D.
D　[由题意可知即－＜a≤2.故选D.]



1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)　　 B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D　[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.
设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．
要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．
∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，
∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．
故选D.]
2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是(　　)
A.
B.∪(1，＋∞)
C.
D.∪
A　[法一：分析f(x)的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化．
∵f(－x)＝ln(1＋|－x|)－＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
∵当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在(0，＋∞)上y＝ln(1＋x)递增，y＝－也递增，
根据单调性的性质知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f(x)>f(2x－1)⇔f(|x|)>f(|2x－1|)⇔|x|>|2x－1|⇔x2>(2x－1)2⇔3x2－4x＋1<0⇔ 法二：(特殊值排除法)
令x＝0，此时f(x)＝f(0)＝－1<0，f(2x－1)
＝f(－1)＝ln 2－＝ln 2－ln >0，
∴x＝0不满足f(x)>f(2x－1)，故C错误．
令x＝2，此时f(x)＝f(2)＝ln 3－，f(2x－1)＝f(3)＝ln 4－.∵f(2)－f(3)＝ln 3－ln 4－，
其中ln 3 ∴f(2)－f(3)<0，
即f(2)f(2x－1)，
故B，D错误．故选A.]