2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第2章第12节　定积分与微积分基本定理

第十二节　定积分与微积分基本定理

[考纲传真]　1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．

1．定积分的有关概念与几何意义

(1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝ f(ξi)．

在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

2.定积分的性质

(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；

(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；

(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．

3．微积分基本定理

一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．

其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．

为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|，

即f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．

[常用结论]

函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

(1)若f(x)为偶函数，则－af(x)dx＝2f(x)dx.

(2)若f(x)为奇函数，则－af(x)dx＝0.

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)

(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　)

(3)若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图象，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2.exdx的值等于(　　)

A．e　　 B．1－e

C．e－1   D.(e－1)

C　[exdx＝ex＝e－1.]

3．(教材改编)已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)

A．10t　　B．5t　　C.t　　D.t

B　[S＝∫t00vdt＝∫t0010tdt＝5t2|t00＝5t.]

4．(教材改编)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．

　[如图，阴影部分的面积即为所求．

由得A(1,1)．

故所求面积为S＝∫10(x－x2)dx

＝＝.]

5.－1dx＝________.

　[－1dx表示曲线y＝与直线x＝－1，x＝1及x轴围成的曲边梯形的面积，故－1dx＝.]

定积分的计算

1．(2019·玉溪模拟)计算dx的值为(　　)

A.　　 B.＋ln 2

C.＋ln 2   D．3＋ln 2

B　[dx＝＝2＋ln 2－＝＋ln 2.故选B.]

2．(2018·吉林三模)|x－1|dx＝(　　)

A．1   B．2

C．3   D.

D　[|x－1|dx＝(1－x)dx＝＝1－＝.]

3．设f(x)＝则f(x)dx等于(　　)

A.   B.

C.   D．不存在

C　[如图，

f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx

＝x3＋

＝＋＝.]

4.(sin x－cos x)dx＝________.

2　[(sin x－cos x)dx＝(－cos x－sin x)|＝1＋1＝2.]

定积分的几何意义

【例1】　(1)(2019·皖南八校联考)用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值，设f(x)＝min，则由函数f(x)的图象，x轴与直线x＝和直线x＝2所围成的封闭图形的面积为________．

(2)(2019·黄山模拟)已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.

(1)＋ln 2　(2)2  [(1)由题意，围成的封闭图形如图中阴影部分，

由题意，S＝dx＋dx＝x1＋ln x

＝＋ln 2＝＋ln 2，故答案为＋ln 2.

(2)由得或

则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为(kx－x2)dx＝|＝－k3＝，

即k3＝8，所以k＝2.]

(1)曲线y＝－x＋2，y＝与x轴所围成的面积为________．

(2)如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．

(1)　(2)　[(1)如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为

dx＋(－x＋2)dx＝

x|＋|＝.

(2)由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4，

∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2，

∴抛物线在A点处的切线方程为y＝4x－3，

在B点处的切线方程为y＝－2x＋6，

联立方程解得

∴两切线交点的横坐标为，

∴S＝∫0[(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx

＝∫0x2dx＋(x2－6x＋9)dx

＝x30＋3

＝＋＝.]

定积分在物理中的应用

【例2】　(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)

A．1＋25ln 5　　　 B．8＋25ln

C．4＋25ln 5   D．4＋50ln 2

(2)(2019·渭南模拟)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)

A. J   B. J

C. J   D．2 J

(1)C　(2)C　[(1)由v(t)＝7－3t＋＝0，可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，

此期间行驶的距离为v(t)dt＝dt＝|＝4＋25ln 5.

(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos 30°，故F(x)做的功为W＝(5－x2)cos 30°dx＝(5－x2)dx＝5x－x3＝.]

物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是________m.

130　[设A追上B时，所用的时间为t0，则SA＝SB＋5，即∫t00(3t2＋1)dt＝∫t00(10t)dt＋5，

∴(t3＋t)t00＝5t＋5

∴t＋t0＝5(t＋1)

即t0＝5，

∴SA＝5t＋5＝5×52＋5＝130(m)．]