2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第3章第4节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用
展开第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[考纲传真] 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 | 振幅 | 周期 | 频率 | 相位 | 初相 |
A | T＝ | f＝＝ | ωx＋φ | φ |
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x | － | ||||
ωx＋φ | 0 | π | 2π | ||
y＝Asin(ωx＋φ) | 0 | A | 0 | －A | 0 |
3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
[常用结论]
1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
2．在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期．
3．正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值．
4．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )
(2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.( )
(3)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．( )
(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2,4π， B．2，，
C．2，，－ D．2,4π，－
C [由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.]
3．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的( )
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍 ，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D [由题意可知，要得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos的图象横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．]
4．已知直线x＝和点恰好是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻的对称轴和对称中心，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4， D．4，
B [＝－＝，∴T＝π.∴ω＝＝＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)，又f＝0，
∴sin＝0，
∴＋φ＝kπ，φ＝kπ－，k∈Z，又|φ|＜，
∴φ＝－.故选B.]
5．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.
；；；； [分别令x－＝0，，π，π，2π，即可得五个点的横坐标(纵坐标分别为0,1,0，－1,0)．]
三角函数的图象及变换
1．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 5x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
B [函数y＝cos 5x＝sin＝sin 5，
y＝sin＝sin 5，设平移φ个单位，
则＋φ＝－，
解得φ＝－，故把函数y＝cos 5x的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin的图象．]
2．将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为( )
A. B.
C. D.
B [把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，可得y＝sin＝sin的图象，
∵所得图象关于直线x＝对称，∴4×＋4φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)，
∵φ＞0，∴φmin＝.]
3．已知函数f(x)＝3sin，x∈R.
(1)画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
[解] (1)列表取值：
x | π | π | π | π | |
x－ | 0 | π | π | 2π | |
f(x) | 0 | 3 | 0 | －3 | 0 |
描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．
(2)先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．
[规律方法] 1.y＝Asinωx＋φ的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标.
2.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asinωx＋φ图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例1】 (1)(2019·太原模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，－＜φ＜的部分图象如图所示，则f(0)＝( )
A．－ B．－
C．－1 D．－
(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
①求f(x)的解析式；
②当x∈时，求f(x)的值域．
(1)A [因为＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2.因为f＝2sin＝2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.因为φ∈，所以φ＝－，所以f(0)＝2sin＝－，故选A.]
(2)[解] ①由最低点为M，得A＝2.
由x轴相邻两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，所以ω＝＝＝2.
由点M在图象上，
得2sin＝－2，
即sin＝－1，
所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
即φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为φ∈，所以φ＝.
故f(x)＝2sin.
②因为x∈，
所以2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值－1.故f(x)的值域为[－1,2]．
[规律方法] 确定y＝Asinωx＋φ＋bA＞0，ω＞0的步骤和方法
1求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则.
2求ω：确定函数的周期T，则可得.
3求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω，b已知或代入图象与直线y＝b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.“第一点”即图象上升时与x轴的交点时ωx＋φ＝0；“第二点”即图象的“峰点”时“第三点”即图象下降时与x轴的交点时ωx＋φ＝π；“第四点”即图象的“谷点”时“第五点”时ωx＋φ＝2π.
(2019·辽南五校联考)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的部分图象如图所示，则关于函数g(x)＝Asin(ωx－φ)的下列说法正确的是( )
A．图象关于点中心对称
B．图象关于直线x＝对称
C．图象可由y＝2cos 2x的图象向左平移个单位长度得到
D．在上单调递减
D [由图象可得A＝2，＝＋＝，则最小正周期T＝π＝，得ω＝2，又f＝2cos＝2，－π＜φ＜0，则φ＝－，所以g(x)＝2sin，g＝2sin ≠0，A错误；g＝2sin π＝0，B错误；g(x)＝2sin＝2cos的图象可由y＝2cos 2x的图象向左平移个单位长度得到，C错误；x∈时，2x＋∈，g(x)单调递减，D正确，故选D.]
三角函数模型的简单应用
【例2】 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．
(1)求实验室这一天的最大温差；
(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？
[解] (1)因为f(t)＝10－2
＝10－2sin，又0≤t＜24，
所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin＞11，
即sin＜－.
又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.
故在10时至18时实验室需要降温．
[规律方法] 三角函数模型的实际应用类型及解题关键
1已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
2函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D [因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.
故选D.]
2．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z)
B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)
D．x＝＋(k∈Z)
B [将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin 2＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．]
3.(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A．kπ－，kπ＋，k∈Z
B．2kπ－，2kπ＋，k∈Z
C．k－，k＋，k∈Z
D.，k∈Z
D [由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－<x<2k＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.]
4.(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
[因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．]
