2020版新一线高考理科数学（人教A版）一轮复习教学案：第4章第2节　平面向量的基本定理及坐标表示

第二节　平面向量的基本定理及坐标表示[考纲传真]　1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.[常用结论]1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0，＝(＋)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)(4)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝(　　)A．(－2，－1)　　　 B．(－2,1)C．(－1,0)   D．(－1,2)D　[∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，∴a＝，b＝∴a－b＝＝(－1,2)，故选D.]3．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)B　[A项中e1∥e2，C项中e2＝2e1，D项中e1＝－e2，只有B项中e1，e2不共线，故a可以由e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)表示，故选B.]4．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x等于(　　)A．2　　B．3  C．4　　D．6B　[由a∥b可知2×6－4x＝0，∴x＝3.故选B.]5．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．(1,5)　[设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得]  平面向量基本定理及其应用1．如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)A．e1与e1＋e2　　 B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2   D．e1＋3e2与6e2＋2e1D　[选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量．故选D.]2．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)A.　　B.  C.　　D．1A　[因为M为边BC上任意一点，所以可设＝x＋y(x＋y＝1)．因为N为AM的中点，所以＝＝x＋y＝λ＋μ.所以λ＋μ＝(x＋y)＝.故选A.]3．如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.[解]　∵＝－＝a－b，＝＝a－b，∴＝＋＝a＋b.∵＝a＋b，∴＝＋＝＋＝＝a＋b，∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.[规律方法]　平面向量基本定理应用的实质和一般思路1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决. 平面向量的坐标运算【例1】　(1)向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)A．(－3,4)   B．(3,4)C．(3，－4)   D．(－3，－4)(2)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　　)A．1　　B．2  C．3　　 D．4(1)A　(2)D　[(1)∵a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，故选A.(2)以O为坐标原点，建立坐标系可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)．∴解得λ＝－2，μ＝－.∴＝4.][规律方法]　1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题. (1)已知A(1,4)，B(－3,2)，向量＝(2,4)，D为AC的中点，则＝(　　)A．(1,3)　　　 B．(3,3)C．(－3，－3)   D．(－1，－3)(2)若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)A．c＝a＋b   B．c＝－a－bC．c＝a＋b   D．c＝a－b(1)B　(2)A　[(1)∵D为AC的中点，∴＝(＋)，又＝(4,2)，＝(2,4)，∴＝(6,6)＝(3,3)，故选B.(2)设c＝xa＋yb，易知∴∴c＝a＋b.故选A.] 向量共线的坐标表示【例2】　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．[解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－.(2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝.[规律方法]　与向量共线有关的题型与解法1证三点共线：可先证明相关的两向量共线，再说明两向量有公共点；2已知向量共线，求参数：可利用向量共线的充要条件列方程组求解. (1)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x的值是________．(2)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________．(1)2　(2)－　[(1)由题意得a＋b＝(3,1＋x)，3a－b＝(1,3－x)，则由a＋b与3a－b平行得3×(3－x)－1×(1＋x)＝0，解得x＝2.(2)＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.] 1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)A．(－7，－4)　　　 B．(7,4)C．(－1,4)   D．(1,4)A　[＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.]2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.　[2a＋b＝(4,2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.]3．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.－6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]