2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第6节对数与对数函数
展开第六节 对数与对数函数
[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．
1．对数的概念
如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
2．对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
(2)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．
(3)对数的换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
3．对数函数的定义、图像与性质
定义 | 函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫作对数函数 | |
图像 | a＞1 | 0＜a＜1 |
性质
| 定义域：(0，＋∞) | |
值域：R | ||
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) | ||
当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 | 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 | |
在(0，＋∞)上为增函数 | 在(0，＋∞)上为减函数 | |
4.反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
[常用结论]
1．换底公式的两个重要结论
(1)loga b＝；(2)logambn＝loga b.
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.
2．对数函数的图像与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数． ( )
(2)log2x2＝2log2x. ( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． ( )
(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像不在第二、三象限． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(log29)·(log34)＝( )
A. B.
C．2 D．4
D [原式＝·＝×＝4.]
3.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是( )
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
D [由图可知0＜a＜1，又f(0)＝loga c＞0，∴0＜c＜1.]
4．函数f(x)＝log(x2－4)的递增区间为( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
D [由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，由复合函数的单调性可知，f(x)＝log(x2－4)的递增区间，即为y＝x2－4在{x|x＞2或x＜－2}上的递减区间，故选D.]
5．若a＝log4 3，则2a＋2－a＝________.
[∵a＝log4 3，∴2a＝2log4 3＝2log2 ＝，∴2－a＝，
∴2a＋2－a＝＋＝.]
对数的运算
1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于( )
A. B．10
C．20 D．100
A [∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，
∴m＝.]
2．化简下列各式：
(1)lg ＋lg 70－lg 3－；
(2)log3 ·log5[4log2 10－(3)－7log7 2]；
(3)(log3 2＋log9 2)·(log4 3＋log8 3)．
[解] (1)原式＝lg －
＝lg 10－
＝1－|lg 3－1|＝lg 3.
(2)原式＝log3 ·log5[10－(3)－7log7 2]
＝(log3 3－1)·log5(10－3－2)
＝·log5 5
＝－.
(3)原式＝·＝·＝·＝.
[规律方法] 在解决对数的化简与求值问题时
1要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式.
2注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化.
3化异底为同底.
对数函数的图像及应用
【例1】 (1)函数y＝2log4(1－x)的图像大致是( )
A B C D
(2)当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(1,2] D.
(1)C (2)C [(1)函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上递减，排除D.故选C.
(2)设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜loga x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在区间(1,2)上的图像在f2(x)＝loga x的图像的下方即可．
当0＜a＜1时，显然不成立．
当a＞1时，如图所示，要使在区间(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝loga x的图像的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga 2，所以loga 2≥1，即1＜a≤2.]
[规律方法] 利用对数函数的图像可求解的两类问题
1对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性单调区间、值域最值、零点时，常利用数形结合思想求解.
2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.
(1)函数f(x)＝xa满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|loga(x＋1)|的图像大致为( )
A B C D
(2)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．
(1)C (2)(1，＋∞) [(1)法一：∵f(2)＝4，∴2a＝4，解得a＝2，
∴g(x)＝|log2(x＋1)|＝
∴当x≥0时，函数g(x)递增，且g(0)＝0；当－1＜x＜0时，函数g(x)递减．故选C.
法二：由f(2)＝4，即2a＝4得a＝2，
∴g(x)＝|log2(x＋1)|，函数g(x)是由函数y＝|log2x|向左平移一个单位得到的，只有C项符合，故选C.
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．]
对数函数的性质及应用
【例2】 (1)(2018·天津高考)已知a＝log2 e，b＝ln 2，c＝log ，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，4)
B．(－4,4]
C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)
D．[－4,4)
(1)D (2)D [因为a＝log2 e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log ＝log2 3＞log2 e＞1，所以c＞a＞b，故选D.
(2)由题意可知解得－4≤a＜4.
故所求实数a的取值范围为[－4,4)．]
[规律方法] 1利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响.
2解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.
(1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D．偶函数，且在(0,1)上是减函数
(2)设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
(3)已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上递增，a＝f，b＝f，c＝f(log32)，则下列关系式中正确的是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
(1)A (2)C (3)D [(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(x)＝ln ＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.
(2)由题意得或解得a＞1或－1＜a＜0.故选C.
(3)log2 ＝－log2 3，而0＜log3 2＜1＜＝log2 ＜log2 ＝log2 3.∵函数f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上递增，
∴f(log3 2)＜f＜f(log2 3)＝f(－log23)＝f，∴c＜b＜a，故选D.]
1．(2018·全国卷Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( )
A．a＋b＜ab＜0 B．ab＜a＋b＜0
C．a＋b＜0＜ab D．ab＜0＜a＋b
B [由a＝log0.20.3得＝log0.30.2，由b＝log20.3得＝log0.32，所以＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，所以0＜＋＜1，得0＜＜1.又a＞0，b＜0，所以ab＜0，所以ab＜a＋b＜0.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1,0<c<1，则( )
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
C [∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，
∴当a＞b＞1,0＜c＜1时，ac＞bc，选项A不正确．
∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，
∴当a＞b＞1,0＜c＜1，即－1＜c－1＜0时，
ac－1＜bc－1，即abc＞bac，选项B不正确．
∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，∴alg a＞blg b＞0，
∴＞.又∵0＜c＜1，∴lg c＜0.
∴＜，∴alogbc＜blogac，选项C正确．
同理可证logac＞logbc，选项D不正确．]
3．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
－2 [由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln ＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2.]
