2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第10节导数的概念及运算
展开第十节 导数的概念及运算
[考纲传真] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．
1．导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 | 导函数 |
f(x)＝C(C为常数) | f′(x)＝0 |
f(x)＝xα(α是实数) | f′(x)＝αxα－1 |
y＝sin x | y′＝cos x |
y＝cos x | y′＝－sin x |
f(x)＝ex | f′(x)＝ex |
f(x)＝ax(a＞0，a≠1) | f′(x)＝axln_a |
f(x)＝ln x | f′(x)＝ |
f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) | f′(x)＝ |
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(φ(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝φ(x)的导数间的关系为yx′＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x)．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率． ( )
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同． ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( )
(4)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于( )
A．e2 B．e
C. D．ln 2
B [∵f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
由f′(x0)＝ln x0＋1＝2得ln x0＝1，∴x0＝e.]
3．有一机器人的运动方程为s(t)＝t2＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )
A. B． C. D．
D [由题意知，机器人的速度方程为v(t)＝s′(t)＝2t－，故当t＝2时，机器人的瞬时速度为v(2)＝2×2－＝.]
4．曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________．
x－y＋1＝0 [∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1，
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k＝1，
∴切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.]
5．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________.
－ [∵f′(x)＝－2sin 2x，
∴f′(0)＝－.]
导数的计算
1．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
－4 [∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，
∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(2)y＝sin ；
(3)y＝.
[解] (1)因为y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
所以y′＝3x2＋12x＋11.
(2)因为y＝sin ＝－sin x，
所以y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x.
(3)y′＝′＝
＝－.
[规律方法] 导数计算的技巧
1求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.
2复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.
导数的几何意义
►考法1 求切线方程
【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
D [因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选 D．]
►考法2 求切点坐标
【例2】 已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D．
B [因为y＝－3ln x，所以y′＝－.再由导数的几何意义，令－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．故选 B．]
►考法3 切线的条数问题
【例3】 过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有( )
A．3条 B．2条
C．1条 D．0条
A [由题意得，f′(x)＝3x2－3，设切点为(x0，x－3x0)，那么切线的斜率为k＝3x－3，利用点斜式方程可知切线方程为y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x－6x＋7＝0，令y＝2x－6x＋7，则y′＝6x－12x0.
由y′＝0得x0＝0或x0＝2.当x0＝0时，y＝7＞0；
x0＝2时，y＝－1＜0.
结合函数y＝2x－6x＋7的单调性可得方程2x－6x＋7＝0有3个解，故过点A(2,1)作曲线f(x)＝x3－3x的切线最多有3条，故选A.]
►考法4 求参数的值(范围)
【例4】 (2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.
1－ln 2 [设直线y＝kx＋b与两曲线的切点分别为P1(x1，ln x1＋2)，P2(x2，ln(x2＋1))．
∵y′1＝，y′2＝，
∴＝，∴x1＝x2＋1.
此时切点P1(x2＋1，ln(x2＋1)＋2)．
故切线斜率k＝＝2.
由＝2，得切点P1的坐标为，
∴切线方程为y－2＋ln 2＝2.
令x＝0，得y＝1－ln 2，即b＝1－ln 2.]
[规律方法] 1求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝fx在点Px0，fx0处的切线方程是y－fx0＝f′x0x－x0；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(1)(2019·山师大附中模拟)函数f(x)＝ln(2x－1)在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝2x－1
C．y＝2x－2 D．y＝x
(2)若曲线y＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A. B．
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
(3)(2019·青岛模拟)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．
(1)C (2)D (3)x－y－2＝0 [(1)∵f(x)＝ln(2x－1)，
∴f′(x)＝.
∴f′(1)＝2，
又∵f(1)＝0，
∴切线方程是：y＝2x－2，故选C.
(2)由题意得y′＝＋2ax(x＞0)．因为曲线不存在斜率为负数的切线，则y′≥0恒成立，即a≥max.因为x＞0，所以－＜0，即a≥0，故选 D．
(3)根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.]
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
y＝－2x－1 [因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.]
2．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
－3 [y′＝(ax＋1＋a)ex，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＋a)ex|x＝0＝1＋a＝－2，所以a＝－3.]
