2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第5章第2节等差数列及其前n项和


第二节　等差数列及其前n项和
[考纲传真]　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)．
(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝.
(3)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d，可推广为an＝am＋(n－m) d．
(4)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d．
2．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．
(2)数列{an}是等差数列，且公差不为0⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

　等差数列的性质
(1)项的性质：①在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．
②若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.

[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　)
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数． (　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d等于(　　)
A.　　 　 B．　　 　C．2　　 　D．－
A　[∵a4＋a8＝2a6＝10，∴a6＝5，
又a10＝6，∴公差d＝＝＝.故选A.]
3．(教材改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　)
A．31 B．32 C．33 D．34
B　[设数列{an}的公差为d，
法一：由S5＝5a3＝30得a3＝6，
又a6＝2，∴S8＝＝＝＝32.
法二：由得
∴S8＝8a1＋d＝8×－28×＝32.]
4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
　[由题意可知即解得－1＜d＜－.]
5．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.
180　[∵{an}为等差数列，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，
∴a2＋a8＝2a5＝180.]

等差数列基本量的运算

1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)
A．12　　 　B．13　　 　C．14　　 　D．15
B　[由题意得S5＝＝5a3＝25，a3＝5，公差d＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d＝3＋5×2＝13.故选B．]
2．已知在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝3 700，则数列的公差d，项数n分别为(　　)
A．d＝0.34，n＝100 B．d＝0.34，n＝99
C．d＝，n＝100 D．d＝，n＝99
C　[由
得解得故选C.]
3．(2018·宁德二模)已知等差数列{an}满足a3＋a5＝14，a2a6＝33，则a1a7＝(　　)
A．33 B．16 C．13 D．12
C　[由得
解得或
当a1＝1，d＝2时，a7＝1＋6×2＝13，∴a1a7＝13；
当a1＝13，d＝－2时，a7＝13＋6×(－2)＝1，∴a1a7＝13.
综上可知a1a7＝13.故选C.]
4．(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)．这个问题中，等差数列的通项公式为(　　)
A．－n＋(n∈N*，n≤5)
B．n＋(n∈N*，n≤5)
C.n＋(n∈N*，n≤5)
D．－n＋(n∈N*，n≤5)
D　[由题意可设五人所得依次对应等差数列中的a1，a2，a3，a4，a5，公差为d，则
∴
∴
∴通项公式为an＝＋(n－1)×＝－n(n∈N*，n≤5)，故选 D．]
[规律方法]　解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
等差数列的判定与证明

【例1】　数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋＞.
[解]　(1)证明：∵an＋1＝，
∴＝，化简得＝2＋，即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2.
证明：＋＋…＋＝＋＋…＋＞＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－＝.
[规律方法]　等差数列的四个判定方法
(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
[解]　(1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
等差数列的性质及应用

【例2】　(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于(　　)
A．0　　　B．37　　　C．100　　　D．－37
(2)(2019·商洛模拟)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是(　　)
A．20 B．22 C．24 D．8
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
(1)C　(2)C　(3)B　[(1)设{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝100.
(2)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，
所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
(3)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45.]
[规律方法]　等差数列的常用性质和结论
(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
(2)在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列．
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am－1＋am＋1－a－1＝0，S2m－1＝39，则m等于(　　)
A．39 B．20 C．19 D．10
(2)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为(　　)
A. B． C. D．
(1)B　(2)C　[(1)数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－a－1＝0可化为2am－a－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B．
(2)由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝.故选C.]
等差数列前n项和的最值问题

【例3】　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
[解]　∵a1＝20，S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，
∴d＝－.
法一：由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，
得a13＝0.
即当n≤12时，an＞0，
当n≥14时，an＜0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值，
且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.
法二：Sn＝20n＋·＝－n2＋n
＝－2＋.
∵n∈N*，∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
法三：由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.
∴5a13＝0，即a13＝0.
∴当n＝12或n＝13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.
[规律方法]　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法．
①当a1>0，d