2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第5章第3节等比数列及其前n项和


第三节　等比数列及其前n项和
[考纲传真]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．

1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝aB．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.
(2)前n项和公式：
Sn＝

1．在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.
2．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比数列．
3．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn，其中当公比为－1时，n为偶数时除外．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列． (　　)
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝a B． (　　)
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝(　　)
A．－　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．
D　[由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝②，
由②÷①得q3＝，
解得q＝.故选D．]
3．已知数列{an}满足an＝an＋1，若a3＋a4＝2，则a4＋a5＝(　　)
A. B．1 C．4 D．8
C　[∵an＝an＋1，∴＝2.
∴a4＋a5＝2(a3＋a4)＝2×2＝4.故选C.]
4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)
A. B．－ C. D．－
C　[∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1，即公比q2＝9，又a5＝a1q4，∴a1＝＝＝.故选C.]
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________.
6　[∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵Sn＝126，∴＝126，
解得n＝6.]

等比数列的基本运算

1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，则公比q＝(　　)
A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6
B　[因为3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，所以两式相减，得3(S3－S2)＝(a4－2)－(a3－2)，即3a3＝a4－a3，得a4＝4a3，所以q＝＝4.]
2．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝，则a2＝________.
－3或　[法一：∵数列{an}是等比数列，
∴当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，显然S3＝3a3＝.
当q≠1时，由题意可知

解得q＝－或q＝1(舍去)．
∴a2＝＝×(－2)＝－3.
综上可知a2＝－3或.
法二：由a3＝得a1＋a2＝3.
∴＋＝3，
即2q2－q－1＝0，
∴q＝－或q＝1.
∴a2＝＝－3或.]
3．(2019·济宁模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.
2n－1　[设等比数列的公比为q，则
(a1＋a3)q＝(a2＋a4)，即q＝＝，
由a1＋a3＝a1(1＋q2)＝可知a1＝2.
∴an＝2·n－1＝.
Sn＝＝4.
∴＝＝2n－1.]
[规律方法]　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
2．等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
等比数列的判定与证明


【例1】　(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解]　(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
[规律方法]　(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，
(1)求证：{bn}是等比数列．
(2)求{an}的通项公式．
[解]　(1)因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝
＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
所以－＝，
故是首项为，公差为的等差数列．
所以＝＋(n－1)·＝，
所以an＝(3n－1)·2n－2.
等比数列性质的应用

【例2】　(1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
(2)(2019·海口调研)在各项均为正数的等比数列{an}中，若am·am＋2＝2am＋1(m∈N*)，数列{an}的前n项积为Tn，且T2m＋1＝128，则m的值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
(3)等比数列{an}满足an＞0，且a2a8＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________.
(1)C　(2)A　(3)9　[(1)因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，
所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)(a9＋a11)，
故a9＋a11＝＝＝2；
同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，
所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，
故a13＋a15＝＝＝1.
所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
(2)因为am·am＋2＝2am＋1，所以a＝2am＋1，即am＋1＝2，即{an}为常数列．又T2m＋1＝(am＋1)2m＋1，由22m＋1＝128，
得m＝3，故选A.
(3)由题意可得a2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，则原式＝log2(a1a2……a9)＝9log2a5＝9.]
[规律方法]　(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形；二是等比中项的变形；三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(1)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.
(2)(2019·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________.
(1)－　(2)－　[(1)由＝，a1＝－1知公比q≠1，＝－.
由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，所以q＝－.
(2)因为＋＝，＋＝，
由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，
所以＋＋＋＝
＝÷＝－.]

1．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏　　　　　　 B．3盏
C．5盏 D．9盏
B　[设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.
故选B．]
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)
A．21 B．42
C．63 D．84
B　[∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.
∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B．]
3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
－8　[设等比数列{an}的公比为q，
∵a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，
∴a1(1＋q)＝－1，①
a1(1－q2)＝－3.②
②÷①，得1－q＝3，∴q＝－2.
∴a1＝1，
∴a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
64　[设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.
故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·
＝23n－＋＝2－＋n.
记t＝－＋＝－(n2－7n)，
结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.
又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝64.]
5．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
[解]　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.