2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第6章第5节综合法、分析法、反证法、数学归纳法

第五节　综合法、分析法、反证法、数学归纳法[考纲传真]　1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．综合法、分析法内容综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法实质由因导果执果索因框图表示→→…→ →→…→得到一个明显,成立的条件文字语言因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……2.反证法(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．(2)反证法的证题步骤：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．[常用结论]　利用归纳假设的技巧在推证n＝k＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n＝k与n＝k＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．  (　　)(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明． (　　)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”． (　　)[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”时，在验证n＝1成立时，左边应该是(　　)A．1　　　　　　　　 B．1＋aC．1＋a＋a2   D．1＋a＋a2＋a3C　[n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.]3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”过程应用了   (　　)A．分析法B．综合法C．综合法、分析法结合使用D．间接证法B　[由证明过程看是用了综合法的证明，故选B．]4．设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数(　　)A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2D　[∵＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴三个数中至少有一个不小于2.]5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(　　)A．(k＋1)2＋2k2   B．(k＋1)2＋k2C．(k＋1)2   D．(k＋1)[2(k＋1)2＋1]B　[若n＝k时成立，即12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝成立，那么n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22＋12，对比n＝k时的式子可知，当n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是(k＋1)2＋k2，故选B．]分析法的应用1．若a，b∈(1，＋∞)，证明＜.[证明]　要证＜，只需证()2＜()2，只需证a＋b－1－ab＜0，即证(a－1)(1－b)＜0.因为a＞1，b＞1，所以a－1＞0,1－b＜0，即(a－1)(1－b)＜0成立，所以原不等式成立．2．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.[证明]　要证＋＝，即证＋＝3，也就是＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．[规律方法]　(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利解决的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．综合法的应用【例1】　设数列{an}的前n项和为Sn，已知3an－2Sn＝2.(1)证明{an}是等比数列并求出通项公式an；(2)求证：S－SnSn＋2＝4×3n.[证明]　(1)因为3an－2Sn＝2，所以3an＋1－2Sn＋1＝2，所以3an＋1－3an－2(Sn＋1－Sn)＝0.因为Sn＋1－Sn＝an＋1，所以＝3，所以{an}是等比数列．当n＝1时，3a1－2S1＝2，又S1＝a1，所以a1＝2.所以{an}是以2为首项，以3为公比的等比数列，其通项公式为an＝2×3n－1.(2)由(1)可得Sn＝3n－1，Sn＋1＝3n＋1－1，Sn＋2＝3n＋2－1，故S－SnSn＋2＝(3n＋1－1)2－(3n－1)(3n＋2－1)＝4×3n，即S－SnSn＋2＝4×3n.[规律方法]　(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理． 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.[证明]　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.(2)因为a，b，c均为正数，＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.反证法的应用【例2】　设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[证明]　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．[规律方法]　用反证法证明问题的步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立) 设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[解]　(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．假设{Sn}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．数学归纳法的应用【例3】　已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．[解]　(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．(2)由(1)猜想，f(n)≤g(n)，用数学归纳法证明．①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n＝k(k＞3，k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋＋…＋＜－，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋.因为－＝－＝＜0，所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．[规律方法]　1.应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法．2．利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性． 设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列{an}的通项公式．[解]　(1)由Sn＝2nan＋1－3n2－4n，得S2＝4a3－20，S3＝S2＋a3＝5a3－20.又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8.∵S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7，∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3.综上知a1＝3，a2＝5，a3＝7.(2)由(1)猜想an＝2n＋1(n∈N*)，以下用数学归纳法证明：①当n＝1时，猜想显然成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，有ak＝2k＋1成立，则Sk＝3＋5＋7＋…＋(2k＋1)＝·k＝k(k＋2)．又Sk＝2kak＋1－3k2－4k，∴k(k＋2)＝2kak＋1－3k2－4k，解得ak＋1＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，猜想成立．由①②知，数列{an}的通项公式为an＝2n＋1(n∈N*)．