2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第7章第1节空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积


第章　立体几何
第一节　空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积
[考纲传真]　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式．

1．简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；
(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．
2．旋转体的形成
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
任一直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆或圆
直径所在的直线
3.三视图与直观图
三视图
画法规则：长对正、高平齐、宽相等
直观图
斜二测画法：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.
4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开
图　



侧面
积公
式　
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
5.柱体、锥体、台体和球的表面积和体积
　　　　名称
几何体　　　
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
2．多面体的内切球与外接球常用的结论
(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.
(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． (　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (　　)
(3)菱形的直观图仍是菱形． (　　)
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)
A．圆柱　　　　　　　 B．圆锥
C．四面体 D．三棱柱
A　[由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．]
3．(教材改编)如图所示，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)
A．棱台
B．四棱柱
C．五棱柱
D．简单组合体
C　[由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．]
4．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)
A．1 cm　　　　　　　　 B．2 cm
C．3 cm D． cm
B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，
∴r＝2(cm)．]
5．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
12　[设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h′.
由题意，得×6××2××h＝2，
∴h＝1，
∴斜高h′＝＝2，
∴S侧＝6××2×2＝12.]

空间几何体的三视图和直观

1．(2018·全国卷Ⅲ)
中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

　　　 A　　　　B　　　　C　　　 D
A　[由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.]
2．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A.a2　　 B．a2　　 C.a2　　 D．a2
D　[法一：如图①②所示的实际图形和直观图，

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，
在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝O′C′＝a，
所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
法二：S△ABC＝×a×asin 60°＝a2，
又S直观图＝S原图＝×a2＝a2.故选D．]
3．某几何体的三视图如图所示，网格纸的小方格是边长为1的正方形，则该几何体中最长棱的棱长是(　　)

A. B． C. D．3
A　[由三视图可知该几何体为一个三棱锥D­ABC，如图，将其置于长方体中，该长方体的底面是边长为1的正方形，高为2.
所以AB＝1，AC＝，BC＝，CD＝，DA＝2，BD＝，
因此最长棱为BD，棱长是.]
空间几何体的表面积与体积

►考法1　根据几何体的三视图计算表面积、体积
【例1】　(1)(2018·合肥一模)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．5π＋18 B．6π＋18
C．8π＋6 D．10π＋6
(2)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)

A．90π B．63π
C．42π D．36π
(1)C　(2)B　[(1)由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2××4π×12＋2××π×12＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6.
(2)法一(分割法)：由题意知，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积V1＝π×32×4＝36π.
上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，
其体积V2＝×π×32×6＝27π.
所以该组合体的体积V＝V1＋V2＝36π＋27π＝63π.
法二(补形法)：由题意知，该几何体是一圆柱被一平面截去一部分后所得的几何体，在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，故圆柱的底面半径为3，高为10＋4＝14，该圆柱的体积V1＝π×32×14＝126π.
故该几何体的体积为圆柱体积的一半，
即V＝V1＝63π.
法三(估值法)：由题意，知V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．]
►考法2　求空间几何体的表面积、体积
【例2】　(1)(2019·南昌模拟)如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．
(2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．

(1)(＋3)π　(2)　[(1)由图中数据可得：S圆锥侧＝×π×2×＝π，S圆柱侧＝π×2×1＝2π，S底面＝π×12＝π.
所以几何体的表面积S＝S圆锥侧＋S圆柱侧＋S底面＝π＋2π＋π＝(＋3)π.
(2)(等积法)三棱锥D1­EDF的体积即为三棱锥F­DD1E的体积．
因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以VD1­EDF＝VF­DD1E＝××1＝.]
[规律方法]　(1)以三视图为载体的表面积、体积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量，必须还原出直观图．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接得出，则常用转化法、分割法、补形法等方法进行求解．
(1)(2016·全国卷Ⅰ)
如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)
A．17π B．18π
C．20π D．28π
(2)(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)
A.＋1
B．＋3
C.＋1
D．＋3
(3)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．
(1)A　(2)A　(3)4　[(1)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．
设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.故选A.
(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积
V＝×π×12×3＋××××3＝＋1.
故选A.
(3)法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C作CH⊥DG于H，连接EH，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH­ABC和一个斜三棱柱BEF­CHG.
由题意，知V三棱柱DEH­ABC＝S△DEH×AD＝×2＝2，V三棱柱BEF­CHG＝S△BEF×DE＝×2＝2.故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝2＋2＝4.
法二：(补形法)
因为几何体有两对相对面互相平行，
如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．
又正方体的体积V正方体ABHI­DEKG＝23＝8，故所求几何体的体积为V多面体ABCDEFG＝×8＝4.]
与球有关的切、接问题

【例3】　
(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π B．
C．6π D．
B　[由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R，∵△ABC的内切圆半径为＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤，
∴Vmax＝π3＝π.故选B．]
[母题探究]　(1)若本例中的条件变为“直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
(2)若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
[解]　(1)将直三棱柱补形为长方体ABEC­A1B1E1C1(图略)，
则球O是长方体ABEC­A1B1E1C1的外接球，
所以体对角线BC1的长为球O的直径．
因此2R＝＝13，
故S球＝4πR2＝169π.
(2)如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AFO中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，
则球O的体积V球＝πr3＝π×3＝.
[规律方法]　与球有关的切、接问题的求解方法
(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体．
①利用2R＝求R.
②确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解．
(3)一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．
(1)已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各顶点都在以O为球心的球面上，且∠BAC＝，AA1＝BC＝2，则球O的体积为(　　)
A．4π B．8π
C．12π D．20π
(2)(2019·福建十校联考)已知三棱锥P­ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB＝，BC＝，AC＝2，则此三棱锥的外接球的体积为(　　)
A.π B．π
C.π D．π
(1)A　(2)B　[(1)在底面△ABC中，由正弦定理得底面△ABC所在的截面圆的半径为r＝＝＝，则直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的半径为R＝＝＝，则直三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的体积为πR3＝4π.故选A.
(2)∵AB＝，BC＝，AC＝2，∴PA＝1，PC＝，PB＝2.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图所示，
则长方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球．
∵长方体的对角线长为＝2，
∴球的直径为2，半径R＝，
因此，三棱锥P­ABC外接球的体积是πR3＝π×()3＝π.故选B．

1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2　　　　　　　 B．2
C．3 D．2
B　[由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B．
]
图①　　　　　　　　　　　图②
2.(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　)
A．12 B．18
C．24 D．54
B　[设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin 60°＝9，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18.]
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)
A．π B．
C. D．
B　[设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，
r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．
∴r＝＝.
∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.
故选B．]
4．(2016·全国卷Ⅲ)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)

A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
B　[由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B．]
5．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)

A．1　　　　B．2 C．4　　　　D．
B　[如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B．]
6．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．
4　[如图，连接OD，交BC于点G，
由题意，知OD⊥BC，OG＝BC.
设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，
三棱锥的高h＝
＝＝，
S△ABC＝×2x×3x＝3x2，则三棱锥的体积
V＝S△ABC·h＝x2·
＝·.
令f(x)＝25x4－10x5，x∈，则f′(x)＝100x3－50x4.
令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)递增，当x∈时，f′(x)