2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第7章第2节空间图形的基本关系与公理

第二节　空间图形的基本关系与公理[考纲传真]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：(0°，90°]．3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．4．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.               (　　)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．               (　　)(3)平面ABC与平面DBC相交于线段BC. (　　)(4)没有公共点的两条直线是异面直线． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．下列命题正确的是(　　)A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D　[依据公理2可知D选项正确．]3．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)A．30°　　　　　　　　　　 B．45°C．60°   D．90°C　[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)A．空间四边形   B．矩形C．菱形   D．正方形B　[如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，易知EH綊BD，FG綊BD，∴EH綊FG，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC⊥BD，故EF⊥FG，∴四边形EFGH为矩形．故选 B．]5．在三棱锥S­ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是________．平行　[如图所示，连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN，∴在△SMN中，＝，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，因此可得G1G2∥BC.]空间两条直线的位置关系1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使得m与l(　　)A．平行　　　　　　 B．相交C．垂直   D．互为异面直线C　[若lα，则排除选项D；若l∩α＝A，则排除选项A；若l∥α，则排除选项B，故选C.]2．设a，b，c是空间中三条不同的直线，给出下面四个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a与b一定是异面直线．其中说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①　[①显然正确；若a⊥b，b⊥c，则a与c可以相交，平行，异面，故②错误；③当a与b相交，b与c相交时，a与c可能相交，也可能平行，还可能异面，故③错误；④中a与b的关系，也可能有相交，平行，异面三种情况，故④错误．故只有①正确．]3．(2019·唐山模拟)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．　   ①　　　　 ②　　　　　③　　 　　④②④　[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．][规律方法]　(1)要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用定义及公理4，借助空间想象并充分利用图形进行判断．(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来推断；二是利用排除法．(3)在判断两条异面直线位置关系时，多用反证法．平面的基本性质及应用【例1】　如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明]　(1)如图，连接EF，CD1，A1B．∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[规律方法]　1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．3．证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上． 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．[证明]　(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD．在△BCD中，＝＝，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．异面直线所成的角【例2】　(1)(2018·银川二模)已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)A．30°   B．45°C．60°   D．90°(2)在三棱锥S­ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为(　　)A.   B．C.   D．(1)A　(2)B　[(1)连接AC，并取其中点O，连接OM，ON，则OM綊BC，ON綊PA，∴∠ONM是异面直线PA与MN所成的角，由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝2，ON＝2，MN＝4，∴cos∠ONM＝＝＝，又∠ONM∈(0°，90°]，∴∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN所成角的大小为30°，故选A.(2)以A为原点，建立空间直角坐标系A­xyz，如图所示．设AB＝AC＝SA＝2，则＝(0,0,2)，＝(2,0,0)，＝(0,2,0)，＝＋＝(1,1,0)，＝－＝(1,1，－2)．∴cos〈，〉＝＝.故选B．][规律方法]　1.用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．2．当题设中含有两两垂直的三边关系时，常借助坐标法求异面直线所成的角．(1)如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是(　　)A.   B．C.   D．2(2)(2019·安庆模拟)正四面体ABCD中，E，F分别为AB，BD的中点，则异面直线AF，CE所成角的余弦值为________．(1)B　(2)　[(1)如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C，EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝＝＝.(2)取BF的中点G，连接CG，EG(图略)，易知EG∥AF，所以异面直线AF，CE所成的角即为∠GEC(或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE＝，EG＝，CG＝，由余弦定理得cos∠GEC＝＝＝，所以异面直线AF，CE所成角的余弦值为.]1.(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)A.　　　　　　　　 B．C.   D．C　[法一：如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，AD1＝＝2，DM＝＝，DB1＝＝，所以OM＝AD1＝1，OD＝DB1＝，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.法二：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由条件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以＝(－1,0，)，＝(1,1，)，则由向量夹角公式，得cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为，故选C.]2.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)A.   B．C.   D．C　[以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，则＝(1,0，－1)，＝(1，－，－1)．所以cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.故选C.]3．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)A.   B．C.   D．A　[如图，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.]