2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第7章第3节平行关系

第三节　平行关系[考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)⇒l∥α性质定理如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⇒a∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行⇒a∥b1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥ B．3．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.4．三种平行关系的转化：[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．               (　　)(2)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．  (　　)(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．               (　　)(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α. (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)下列命题中正确的是(　　)A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，bα，则b∥αD　[A错误，a可能在经过b的平面内；B错误，a与α内的直线平行或异面；C错误，两个平面可能相交．]3．平面α与平面β平行的条件可以是(　　)A．α内有无数条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内C．α内的任何直线都与β平行D．直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥αC　[在选项A中，α内有无数条直线都与β平行，α与β有可能相交，故选项A错误；在选项B中，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，则α与β相交或平行，故选项B错误；在选项C中，α内的任何直线都与β平行，由面面平行的判定定理得α∥β，故选项C正确；在选项D中，直线a在α内，直线b在β内，且a∥β，b∥α，则α与β相交或平行，故选项D错误．故选C.]4．已知直线l∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线l的直线(　　)A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，不一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内B　[过直线l和点P作一个平面β与α相交于m，∵l∥α，∴l∥m，且mα，若n也是过点P且平行于l的直线，则m∥n，这与m∩n＝P相矛盾，故选B．]5．(教材改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF平面ACE，BD1平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]与线、面平行相关命题的判定1．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD　[若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，aα，a∥l，则a∥β，故排除B．若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D．]2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)①　　　　②　　　　③　　　　④A．①③　　　　　　　 B．②③C．①④   D．②④C　[对于图形①，易得平面MNP与AB所在的对角面平行，所以AB∥平面MNP；对于图形④，易得AB∥PN，又AB平面MNP，PN平面MNP，所以AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．故选C.][规律方法]　与线、面平行相关命题的判定，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形．直线与平面平行的判定与性质►考法1　直线与平面平行的判定【例1】　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点，O为AC的中点．(1)证明：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求证：CE∥平面BDF；(3)若AF＝2，M为△ABC的重心，证明FM∥平面PBC.[证明]　(1)由已知四边形ABCD为菱形，又O为AC的中点，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以OE∥PB．又OE平面PAB，PB平面PAB，所以OE∥平面PAB．(2)过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，FO.因为EG∥FD，EG平面BDF，FD平面BDF，所以EG∥平面BDF，因为底面ABCD是菱形，O是AC的中点，又因为E为PD的中点，所以G为PF的中点，因为AF＝1，PA＝3，所以F为AG的中点，所以OF∥CG.因为CG平面BDF，OF平面BDF，所以CG∥平面BDF.又EG∩CG＝G，EG，CG平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CE平面CGE，所以CE∥平面BDF.(3)连接AM，并延长，交BC于点Q，连接PQ，因为M为△ABC的重心，所以Q为BC中点，且＝.又AF＝2，所以＝.所以＝，所以MF∥PQ，又MF平面PBC，PQ平面PBC，所以FM∥平面PBC.►考法2　线面平行性质定理的应用【例2】　如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB．求证：四边形EFGH是矩形．[证明]　∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形，∵CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四边形EFGH为矩形．[规律方法]　1.证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β)．2．利用判定定理判定线面平行，注意三条件缺一不可，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面找其交线．如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．[解]　(1)证明：连接BD，设BD交AC于O，连接EO，因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO∥P B．又EO平面AEC，PB平面AEC，∴PB∥平面AEC.(2)PC的中点G即为所求的点．证明如下：连接GE，FG，∵E为PD的中点，∴EG綊CD；又F是AB的中点，∴AF綊CD，∴AF綊EG，∴四边形AFGE为平行四边形，∴FG∥AE，又FG平面AEC，AE平面AEC，∴FG∥平面AEC.平面与平面平行的判定与性质【例3】　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB．∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[母题探究]　(1)在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.(2)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．[证明]　(1)如图所示，连接HD，A1B，∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，∴HD∥A1B．又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.(2)如图所示，连接A1C交AC1于点M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D．[规律方法]　证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)利用“如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行”．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.[证明]　(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.因为BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.因为DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.因为BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD∥平面MNG.因为DE∩BD＝D，BD，DE平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.　(2016·全国卷Ⅲ节选)如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．证明：MN∥平面PAB．[证明]　由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为MN平面PAB，AT平面PAB，所以MN∥平面PAB．