2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：第8章第5节第2课时直线与椭圆的位置关系

第2课时　直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m＞1　　　　　　　 B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1   D．m≥1且m≠5D　[∵直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，∴要使直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，只需＋≤1，即m≥1，又m≠5，故m的取值范围为m≥1且m≠5，故选D．]2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．[规律方法]　直线与椭圆位置关系的判定方法直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，①Δ＞0⇔直线与椭圆相交；②Δ＝0⇔直线与椭圆相切；③Δ＜0⇔直线与椭圆相离．提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．弦长及中点弦问题►考法1　中点弦问题【例1】　(1)过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是(　　)A．4x＋3y－13＝0   B．3x＋4y－13＝0C．4x－3y＋5＝0   D．3x－4y＋5＝0(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)A.＋＝1   B．＋＝1C.＋＝1   D．＋＝1(1)B　(2)D　[(1)设所求直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由题意得①－②得＋＝0，又P(3,1)是A，B的中点．∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.故直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋4y－13＝0，故选B．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得①－②得＋＝0.又AB的中点为(1，－1)，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴＝＝＝，又右焦点为F(3,0)，∴a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9，即所求椭圆方程为＋＝1，故选D．]►考法2　弦长问题【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程．[解]　(1)由题意知e＝＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)．将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝.同理，|CD|＝＝.所以|AB|＋|CD|＝＋＝＝，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.[规律方法]　(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．(2)与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝－，即kAB＝－比较方便快捷，其中点M的坐标为(x0，y0)． 设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，B．[解]　(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.　(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．[解]　(1)设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.当t＝4时，E的方程为＋＝1，A(－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入＋＝1得7y2－12y＝0.解得y＝0或y＝，所以y1＝.因此△AMN的面积S△AMN＝2×××＝.(2)由题意知t＞3，k＞0，A(－，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－)＝得x1＝，故|AM|＝|x1＋|＝.由题设知，直线AN的方程为y＝－(x＋)，故同理可得|AN|＝.由2|AM|＝|AN|得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．当k＝时上式不成立，因此t＝.t＞3等价于＝＜0，即＜0.由此得或解得＜k＜2.因此k的取值范围是(，2)．