2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：高考大题增分课3数列中的高考热点问题

[命题解读]　全国卷中的数列与三角基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题．从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题(以裂项求和为主)，难度中等．等差、等比数列的基本运算等差、等比数列的基本运算主要涉及两个数列的通项与求和公式，求解的关键是充分借助方程思想，代数列的通项或求和问题为公差d(或公比q)及首项a1的方程求解问题．【例1】　(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.[解]　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.[规律方法]　在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． (2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.[解]　(1)设{an}的公差为d，因为a2＋a3＝5ln 2，所以2a1＋3d＝5ln 2.又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.(2)因为eln 2＝2，∴＝ean－an－1＝eln 2＝2.所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列，所以ea1＋ea2＋…＋ean＝＝2(2n－1)＝2n＋1－2.等差、等比数列的判定与证明等差(比)数列的判定与证明是高考中的常见题型之一，其基本方法是利用等差(比)数列定义，即证明an＋1－an＝常数.难度不大．【例2】　(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[解]　(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．[规律方法]　该类问题常以递推关系为载体，求解的关键是依据题目信息重新构造递推关系，并结合等差(比)数列的定义给予相应的证明． 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．[解]　(1)设{an}的公比为q.由题设可得解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．数列的通项与求和问题数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法．常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．【例3】　(本题满分12分)(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且①.记②，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求③.[信息提取]　看到①想到等差数列的求和公式；看到②想到等差数列的通项公式及对数的运算性质；看到③想到数列的常见求和方法．[规范解答]　(1)设{an}的公差为d，S7＝7a4＝28，所以a4＝4，···················································2分所以d＝＝1，············································4分所以an＝a1＋(n－1)d＝n. ······································5分所以b1＝[lg a1]＝[lg 1]＝0，b11＝[lg a11]＝[lg 11]＝1，b101＝[lg a101]＝[lg 101]＝2. ····························································6分(2)记{bn}的前n项和为Tn，则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1 000]，当0≤lg an＜1时，n＝1,2，…，9；······························7分当1≤lg an＜2时，n＝10,11，…，99；···························9分当2≤lg an＜3时n＝100,101，…，999；·························11分当lg an＝3时，n＝1 000，所以T1 000＝0×9＋1×90＋2×900＋3×1＝1 893.·················12分[易错与防范]易错点防范措施对[lg an]认识错误先结合题设条件理解[x]，再结合对数的运算性质求出b1，b11，b101找不出[lg an]的规律求不出{bn}的前1000项的和结合(1)的结论，合情推理推出[lg an]的规律，并分类求出bn，最后利用分组求和求{bn}的前1000项和.[通性通法]　(1)等差(或等比)数列的通项公式、前n项和公式中有五个元素a1，d(或q)，n，an，Sn，“知三求二”是等差(等比)的基本题型，通过解方程(组)的方法达到解题的目的．(2)数列的求和问题常采用“公式法”“裂项相消法”等． 设数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：≤Sn＜.[解]　(1)当n＝1时，a1＝2×1－1＝1；当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n－1，①a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2(n－1)－1，②①－②得nan＝2，即an＝.当n＝1时，a1≠＝2，所以an＝(2)由(1)知，bn＝所以bn＞0，所以Sn≥S1＝；当n＝1时，S1＝＜；当n≥2时，bn＝＝2，所以Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋2×＋…＋2＝－，因为＞0，所以Sn＝－＜.综上所述，对任意的n∈N*，≤Sn＜.[大题增分专训]1．(2019·湖北四校联考)在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．(1)求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Sn.[解]　(1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋，∵＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.(2)由(1)得＝＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.2．(2018·石家庄一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n＋1＋m(m∈R)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[解]　(1)法一：当n≥2时，由2Sn＝2n＋1＋m(m∈R)得2Sn－1＝2n＋m(m∈R)，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝2n，即an＝2n－1(n≥2)，又a1＝S1＝2＋，当m＝－2时，a1＝1符合数列{an}为等比数列，所以{an}的通项公式为an＝2n－1.法二：由2Sn＝2n＋1＋m(m∈R)得从而有a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝4，所以等比数列{an}的公比q＝＝2，首项a1＝1，因此数列{an}的通项公式为an＝2n－1.(2)由(1)可得log2(an·an＋1)＝log2(2n－1·2n)＝2n－1，所以bn＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.3．(2018·广州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列是首项为1，公差为2的等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足＋＋…＋＝5－(4n＋5)n，求数列{bn}的前n项和Tn.[解]　(1)因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1.所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－n)－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，当n＝1时，a1＝1也符合上式．所以数列{an}的通项公式an＝4n－3(n∈N*)．(2)当n＝1时，＝，所以b1＝2a1＝2；当n≥2时，由＋＋…＋＝5－(4n＋5)n，所以＋＋…＋＝5－(4n＋1)n－1.两式相减，得＝(4n－3)n.因为an＝4n－3，所以bn＝＝2n(当n＝1时，也符合此式)．又＝＝2，则数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．所以Tn＝＝2n＋1－2.