2020版新一线高考理科数学（北师大版）一轮复习教学案：选修4－4第2节参数方程

第二节　参数方程[考纲传真]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程(1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程，我们直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)＝0叫作曲线的普通方程．(2)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tan α(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a＞b＞0)(φ为参数)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.(1)弦长l＝|t1－t2|；(2)弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；(3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数． (　　)(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．                            (　　)(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆． (　　)(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为. (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)A．在直线y＝2x上　　　　　 B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上   D．在直线y＝x＋1上B　[由得所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]3．直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率________．－3　[将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.]4．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]5．(教材改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝________.3　[直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.]参数方程与普通方程的互化(题组呈现)1．将下列参数方程化为普通方程．(1)(t为参数)；(2)(θ为参数)．[解]　(1)∵2＋2＝1，∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝，∴x≠0.当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0，∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中或(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．2.如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．[解]　圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为(θ为参数)．[规律方法]　消去参数的方法1利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.2利用三角恒等式消去参数.3根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.易错警示：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解.参数方程的应用(例题对讲)【例1】　(2019·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．[解]　(1)由消去θ，得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，所以l的参数方程为即(t为参数)．(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，所以t1t2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.[规律方法]　1解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决.2对于形如t为参数，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题. 已知△ABC中，C＝45°，边AB，BC的垂直平分线的交点为O，且△ABC外接圆的半径是1.(1)建立适当的坐标系，求△ABC外接圆的参数方程；(2)若存在实数p，q使＝p＋q，求p＋q的取值范围．[解]　(1)因为线段AB，BC的垂直平分线的交点为O，则O为△ABC的外心，且点C在优弧AB上，建立如图所示的平面直角坐标系．则易得△ABC外接圆的参数方程是(θ为参数)．(2)由(1)知点C的坐标可以表示为(cos θ，sin θ).由A(0,1)，B(1,0)，C(cos θ，sin θ)及＝p＋q，得p＝sin θ，q＝cos θ.于是p＋q＝sin，又θ＋∈，所以p＋q∈[－，1)．故p＋q的取值范围是[－，1)．极坐标、参数方程的综合应用(例题对讲)【例2】　在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．[解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.所以l的斜率为或－.[规律方法]　处理极坐标、参数方程综合问题的方法1涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的. (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．[解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)，所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)，联立得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．[解]　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.