2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第8课__函数的性质（2）

____第8课__函数的性质(2)____

1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数奇偶性的方法．

2. 掌握奇、偶函数的对称性，体会数学的对称美．

3. 能解决与单调性、奇偶性等有关的一些综合题.

1. 阅读：必修1第41～45页．

2. 解悟：①判断函数奇偶性的一般步骤是什么？②具备奇偶性的函数，其定义域必须具有怎样的特点？这一特点是函数奇偶性定义的要求吗？③请尝试写出具备奇偶性的函数的其他性质；④什么是周期函数？你能用数学符号表示吗？你知道的周期函数有哪些？

3. 践习：在教材空白处，完成第43页练习第1、2、4、6、7题.

　基础诊断　

1. 若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝__±1__．

解析：由题意得f(－x)＝－f(x)，

则＝－，

即＝，

所以k＝±1.

2. 若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)＝__0__；若g(x)是偶函数，则函数g(x＋1)图象的对称轴为直线__x＝－1__．

解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，

所以f(x＋4)＝－f(x＋2)，

所以f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(6)＝f(2)．因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(2)＝－f(0)＝f(6)．

因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(6)＝0.因为g(x)是偶函数，所以函数g(x)的图象关于y轴，即直线x＝0对称，g(x＋1)是将函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以函数g(x＋1)图象的对称轴为直线x＝－1.

3. 已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调增函数，若f(－1)<f(lgx)，则x的取值范围是__∪(10，＋∞)__．

解析：由题意可得，f(1)＝f(－1)，所以f(1)<f(lgx)．因为函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|lgx|>1，即lgx>1或lgx<－1，解得x>10或0<x<，

故实数x的取值范围是∪(10，＋∞)．

4. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)＝__－x2－2x__．

解析：设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝x2＋2x.因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝x2＋2x，即f(x)＝－x2－2x，故当x<0时，f(x)＝－x2－2x.

5.  设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝____．

解析：由题意得f(－1)＝－f(1)＝－，

f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)，

所以＝－＋f(2)，即f(2)＝1，

所以f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝，

f(5)＝f(3)＋f(2)＝＋1＝.

　范例导航　

考向❶  判断函数的奇偶性

例1　判断下列函数的奇偶性．

(1) f(x)＝；

(2) f(x)＝lg(x＋);

(3) f(x)＝.

解析：(1) 由题意得函数f(x)的定义域为R，

f(x)＝＝＋2＋2x，则f(－x)＝＋2＋2－x＝2x＋2＋，即f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)为偶函数．

(2) 由题意得函数f(x)的定义域为R.因为f(x)＝lg(x＋)，所以f(－x)＋f(x)＝lg(－x＋)＋lg(x＋)＝lg[(－x＋)·(x＋)]＝lg1＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．

(3) 由题意得，函数f(x)的定义域为(－2，0)∪(0，2)，

所以x＋3>0，所以f(x)＝，f(－x)＝，f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．

判断函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R，x∈R的奇偶性．

解析：当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，

此时f(x)为偶函数；

当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，

f(a)≠－f(－a)，f(a)≠f(－a)，

此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.

考向❷  单调性、奇偶性的综合

例2　已知函数f(x)＝是奇函数．

(1) 求实数m的值；

(2) 若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解析：(1) 设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以－f(－x)＝f(x)，

于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2) 由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

则所以1<a≤3，

故实数a的取值范围是(1，3]．

已知奇函数f(x)的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]上单调递减．若f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围．

解析：由f(x)的定义域为[－2，2]，知解得－1≤m≤.

因为f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m2)，

即f(1－m)<f(m2－1)．

因为f(x)在[－2，0]上单调递减，所以f(x)在[－2，2]上是减函数，所以1－m>m2－1，解得－2<m<1.

综上所述，实数m的取值范围是[－1，1).

考向❸  函数的周期性、对称性

例3　设函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在区间[0，7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.

(1) 试判断函数y＝f(x)的奇偶性；

(2) 试求方程f(x)＝0在区间[－2 018，2 018]上的根的个数，并证明你的结论．

解析：(1) 因为函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，

当x＝2时，f(0)＝f(4)≠0，

所以函数f(x)不是奇函数．

因为f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，

所以f(－x)＝f(4＋x)，f(－x)＝f(14＋x)，

即f(4＋x)＝f(14＋x)，即f(x)＝f(x＋10)，

所以函数f(x)是以10为周期的周期函数，

所以f(－3)＝f(－3＋10)＝f(7)≠0，

即f(－3)≠f(3)，所以函数f(x)不是偶函数．

综上，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2) 因为在闭区间[0，7]上只有f(1)＝f(3)＝0，

所以f(x)＝0在[4，7]上无解，则f(7－x)＝0在[0，3]上无解．

因为f(7－x)＝f(7＋x)，

所以f(7＋x)在[0，3]上无解，

即f(x)在[7，10]上无解，

所以函数f(x)＝0在一个周期[0，10]上只有2个根．

又因为在闭区间[－2 010，2 010]上含有402个周期，此时有2×402＝804(个)根．

在区间(2 010，2 018]上，f(2 011)＝f(1)＝0，f(2 013)＝f(3)＝0，此时有2个根．

因为函数f(x)的周期为10，

所以函数f(x)在[－2 018，－2 010)上的值域和在[2，10)上的值域相同，所以有1个根．

综上，共有804＋2＋1＝807(个)根．

　自测反馈　

1. 已知偶函数f(x)的图象与x轴有五个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和等于__0__．

解析：因为函数y＝f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以其图象与x轴有五个交点也与y轴对称，其中一个为0，另外四个关于y轴对称互为相反数，所以方程f(x)＝0的所有实数根之和等于0.

2. 设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是__(－1，0)∪(1，＋∞)__．

解析：由已知条件可得，函数f(x)的解析式为f(x)＝其图象如图所示，故f(x)>0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)．

3. 已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2 018)＝__2__．

解析：由题意得，f(x)＝f(－x)，g(－x)＝－g(x)．因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)，即－g(x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)，

所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)为周期函数，周期为4，所以f(2 018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝2，即f(2 018)＝2.

4. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝(其中a，b∈R)，若f＝f，则a＋3b的值为__－10__．

解析：由题意得f＝f＝1－，f＝＝.

因为f＝f，所以1－a＝①.

又因为f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝②.

联立①②得，解得

所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.

1.  奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

2. 若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量x的值都有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－(a是常数且a≠0)，则f(x)是一个周期为2a的周期函数.

3. 你还有哪些体悟，写下来：