2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第17课__函数模型及其应用

____第17课__函数模型及其应用____

1. 能根据实际问题建立合理的函数模型．

2. 初步运用函数思想，理解和处理现实生活中的简单问题.

1. 阅读：必修1第98～100页．

2. 解悟：①读题：读懂和深刻理解题意，译为数学语言，找出主要关系；②建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；③求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；④检验：对结果进行验证或评估，对错误加以调整，最后将结果应用于现实，做出解释或验证．

3. 践习：在教材空白处，完成第100页练习第3题.

　基础诊断　

1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是__y＝2x(x∈N*)__．

2. 某人若以每股17.25元购进股票一万股，一年后以每股18.96元抛售，假定手续费为交易额的0.3%.该年银行月复利率为0.8%，按月计算．为获取最大利润，此人应将钱__存入银行__. (填“购买股票”或“存入银行”)

解析：买股票获得的利润为18.96×10 000×(1－0.3%)－17.25×10 000＝16 531.2(元)；存入银行获得的利润为(17.25×10 000)×(1＋0.8%)12－(17.25×10 000)＝17 308.42(元)．因为16 531.2<17 308.42，所以存入银行获取最大利润．

3. 司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__5__h，才能开车. (精确到1 h)

解析：设x h后，驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg/mL，则0.3×(1－25%)x≤0.09，即≤0.3.令x＝1，2，3，4，可得>0.3.当x＝5时，<0.3，故至少经过5 h，才能开车．

4. 在某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品__80__件．

解析：由题意得，生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x·＝800＋，所以平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)＝＝＋(x为正整数)．由基本不等式得＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时，f(x)取得最小值，故每批应生产产品80件．

　范例导航　

考向❶  分段函数型应用问题

例1　某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资金额x成正比，其关系如图1；B产品的利润y与投资金额x的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资金额单位：万元).

图1　     图2

(1) 分别将A，B两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式；

(2) 已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部资金投入A，B两种产品的生产．

①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？

②如果你是企业老板，怎样分配这18万元资金，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？

解析：(1) 设A产品的利润为f(x)＝k1x，B产品的利润为g(x)＝k2.

由图可知，f(1)＝0.25，即0.25＝k1，即k1＝，

所以f(x)＝x.

g(4)＝4，即2k2＝4，解得k2＝2，

所以g(x)＝2.

故A，B两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式分别为f(x)＝x，g(x)＝2.

(2) ①由题意得，18÷2＝9(万元)，所以总利润为×9＋2＝(万元)．

故平均投入生产两种产品，可获得利润 万元．

②设对B产品投资x万元，则对A产品投资(18－x)万元，记企业获得的利润为y万元，

所以y＝(18－x)＋2(0≤x≤18)．

设＝t，则x＝t2(0≤t≤3)，

所以y＝(18－t2)＋2t＝－(t－4)2＋，

当t＝4，即x＝16时，y取最大值.

故当对A产品投资2万元，B产品投资16万元时，该企业可获得最大利润，最大利润为万元．

如图，△OAB是边长为2的正三角形．记△OAB位于直线x＝t(t>0)左侧的图形的面积为f(t)，则函数f(t)的解析式为

__f(t)＝

解析：由题意可知△OAB为正三角形，则∠BOA＝∠OAB＝60°.

当0<t≤1时，f(t)＝×t×t＝t2；当1<t≤2时，f(x)＝－×(2－t)×(2－t)＝－t2＋2t－；当t>2时，f(t)＝×2×2×＝.

综上所述，函数f(t)的解析式为

f(t)＝

考向❷  导数型应用问题

例2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式：y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可销售该商品11千克．

(1) 求a的值；

(2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，从而使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

解析：(1) 由题意得，当x＝5时，y＝11，

所以＋10×(5－6)2＝11，解得a＝2.

故a的值为2.

(2) 设商场每日销售该商品所获得的利润为W(x)，

则W(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，

所以W′(x)＝10×[(x－6)2＋2(x－6)(x－3)]

＝30(x－6)(x－4)．

于是，当x变化时，W(x)，W′(x)的变化情况如下表：

由上表可知，当x＝4时，函数W(x)在区间(3，6)上取得极大值也是最大值，

所以当x＝4时，W(x)max＝42，故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大为42元．

古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比，现将一圆柱形木头锯成一横梁(长度不变)，当高与宽的比值为____时，横梁的强度最大．

解析：设直径为d，矩形横断面的宽为x，高为y，由题意知，当xy2取最大值时，横梁的强度最大．因为y2＝d2－x2，所以xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0<x<d)，则f′(x)＝d2－x2＋(－2x2)＝d2－3x2，令f′(x)＝0，解得x＝d或x＝－d(舍去)．当0<x<d，f′(x)>0；当d<x<d时，f′(x)<0.故当x＝d时，f(x)取极大值，也是最大值，此时y＝d时，所以＝.

考向❸  三角型应用问题

例3　现有一个以OA，OB为半径的扇形池塘，在OA，OB上分别取点C，D作DE∥OA，CF∥OB交弧AB于点E，F，且BD＝AC.现用渔网沿着DE，EO，OF，FC将池塘分成如图所示的三种养殖区域．若OA＝1km，∠AOB＝，∠EOF＝θ.

(1) 求区域Ⅱ的总面积；

(2) 若养殖区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的每平方千米的年收入分别为15万元、20万元、10万元．记年总收入为y万元，试问当θ为多少时，年总收入最大？

解析：(1) 因为∠AOB＝，∠EOF＝θ，OA＝OB，BD＝AC，所以OD＝OC，所以Rt△ODE≌Rt△OCF，

所以∠EOD＝∠FOC＝－，

所以S△EOD＝S△FOC＝sincos (－)＝sin，则SⅡ＝sin＝cosθ.　

(2) SⅠ＝θ，SⅢ＝－θ－cosθ，

则年总收入＝θ＋10cosθ＋－5θ－5cosθ＝θ＋5cosθ＋，

所以y′＝－5sinθ，令y′＝0，得θ＝，

所以当0<θ<时，y′>0；

当<θ<时，y′<0，

故当θ＝时，年总收入最大．

　自测反馈　

1. 某卡车在一时间段里的速度v(km/h)与耗油量θ(kg/h)之间有近似的函数关系式：θ＝0.002 5v2－0.175v＋4.27，则当车速为__35__km/h时卡车的耗油量最少．

解析：由题意得，θ＝0.002 5v2－0.175v＋4.27＝0.002 5(v－35)2＋1.207 5，所以当v＝35km/h时，卡车的耗油量最少．

2. 若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x与y的函数关系是__y＝0.957__6__．

解析：设经过一年剩下原来质量的a%，则y＝，由题意可知＝0.957 6，所以＝0.957 6，所以y＝(0.9576)x＝0.957 6.

3. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x，y应为__15，12__.

解析：由直角三角形相似得＝，则x＝(24－y)，所以矩形的面积＝[(24－y)]×y＝－(y－12)2＋180，所以当y＝12时，矩形的面积最大，此时x＝15.

1.  分段函数主要是每一段自变量所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．

2.  利用函数模型解决实际问题的方法步骤(四步法)：审题、建模、求模、还原.

3. 你还有哪些体悟，写下来：