2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第24课__三角函数的诱导公式

____第24课__三角函数的诱导公式____1. 理解正弦、余弦、正切的诱导公式．2. 会运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．3. 能熟练运用诱导公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式证明.1. 阅读：必修4第18～21页．2. 解悟：①三角函数诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”；②用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：负角变正角，大角变小角(锐角三角函数)．3.  践习：必修4第20页练习第2题；第22页习题第4、5、6题.　基础诊断　1. sin(－750°)＝__－__．解析：sin(－750°)＝－sin750°＝－sin(2×360°＋30°)＝－sin30°＝－.2. tan300°＋2sin450°cos(－120°)的值为__－－1__．解析：tan300°＋2sin450°·cos(－120°)＝tan(－60°)＋2sin90°·(－cos60°)＝－＋2×1×＝－－1.3. 若sin(125°－α)＝，则sin(α＋55°)＝____．解析：sin(α＋55°)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝.4. 化简：＝__1__．解析：＝＝1.　范例导航　考向❶  通过诱导公式将角变形　　例1　(1) 化简：；(2) 已知cos＝，求sin(α－)的值．解析：(1) sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sinα，tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα，tan(－α－π)＝－tan(α＋π)＝－tanα，原式＝＝＝＝1.本题采用的策略是将容易出错的部分分别化简．(2) sin＝sin[－－(－α)]＝－sin＝－cos＝－.化简：＝__1__．解析：原式＝＝1. 【备用题】 若sin＝，求cos与 cos的值．解析：cos＝cos＝sin＝.cos＝cos＝－sin＝－.【注】 化简的实质是恒等变形，化简的结果应尽可能简洁. 应该满足：①涉及的三角函数名称较少；②表达形式较简单；③特殊角的三角函数应求出它们的值.考向❷  利用诱导公式，进行化简求值例2　已知cos(π＋α)＝－，且α为第四象限角，计算：(1) sin(2π－α)；(2) (n∈Z)．解析：因为cos(π＋α)＝－，所以－cosα＝－，cosα＝.又α在第四象限，所以sinα＝－＝－.(1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝.(2) 原式＝＝＝－＝－＝－4.化简：(n∈Z)．解析：①当n＝2k，k∈Z时，原式＝＝；②当n＝2k＋1，k∈Z时，原式＝＝－.【注】 关键是注意题中的整数n是表示π的整数倍，与公式一中的整数k的意义有区别，所以必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论. 【备用题】 已知sin＝，求的值．【点评】 先进行化简，再代入求值，关键是正确应用诱导公式．注意适当化简或变形，如cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα，sin＝－sin＝－sin(－α)＝sin＝cosα. 解析：原式＝＝＝＝.【注】 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤为：①负角变正角；②转化为锐角.考向❸  诱导公式的综合运用例3　已知sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．解析：由已知得①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)，即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，化简得sin2α＝，解得sinα＝±.又0<α<π，所以sinα＝，所以α＝或α＝.将α＝或α＝代入②，得cosβ＝或cosβ＝－.又0<β<π，所以β＝或β＝，所以α＝，β＝或α＝，β＝.若角α满足sin(540°＋α)＝－，求.解析：sin(540°＋α)＝sin(180°＋α)＝－sinα＝－，则sinα＝.原式＝＝sinα＝. 【备用题】 已知f(α)＝.(1) 化简f(α)；(2) 若α是第三象限角，且sin＝－，求f(α)；(3) 若α＝－，求f(α)．解析：(1) f(α)＝＝tanα.(2) 因为sin＝sin＝cosα＝－，且α为第三象限角，所以sinα＝－＝－，所以f(α)＝＝.(3) 因为α＝－＝－－4π，所以tanα＝tan＝tan＝－tan＝－，即f(α)＝－.　自测反馈　1.  若sin＝－，则cos＝__－__．解析：cos＝cos＝sin＝－.2.  计算：sin＋2sin＋3sin＝__0__．解析：原式＝－sin－2sin＋3sin＝0.3. 已知函数f(α)＝，则f＝____．解析：f(x)＝＝cosα，则f＝cos＝cos＝cos＝.4. 在△ABC中，下列等式成立的是__①__．(填序号)①sin(A＋B)＝sinC；②cos(B＋C)＝cosA；③tan＝tan；④sin＝－cos.解析：因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA；tan＝tan＝＝＝；sin＝sin＝cos.故只有①成立． 1.  熟记诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”， 处理三角函数问题需从角、名、式三个方面考虑，运用整体代换、去繁为简、未知问题化为已知问题的思想方法．2.  利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：3. 你还有那些体悟，写下来：