2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第29课__三角函数的最值问题

____第29课__三角函数的最值问题____1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象，求三角函数的最值和值域．2. 掌握求三角函数最值的常见方法，能运用三角函数最值解决一些实际问题.1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页．2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？3. 践习：在教材空白处，完成必修4第131页复习题第9、10、16题.　基础诊断　1. 函数f(x)＝sinx，x∈的值域为__．2. 函数f(x)＝sinx－cos的值域为__[－，]__．解析：因为f(x)＝sinx－cos(x＋)＝sinx－cosx＋sinx＝sinx－cosx＝sin(x－)，所以函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为[－，]．3. 若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx，0≤x<，则f(x)的最大值为__2__．解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2sin.因为0≤x<，所以≤x＋<，所以sin∈，所以当sin＝1时，f(x)有最大值2.4. 函数y＝2sin2x－3sin2x的最大值是＋1． 　范例导航　考向❶  形如y＝asin2x＋bcosx＋c的三角函数的最值　例1　已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1) 求f的值；(2) 求f(x)的最大值和最小值．解析：(1) f＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.(2) f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝3－，x∈R.因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx＝时，f(x)取最小值－.已知sin＝，A∈.(1) 求cosA的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x＋sinAsinx的值域．解析：(1) 因为<A<，且sin＝，所以<A＋<，cos＝－，所以cosA＝cos[(A＋)－]＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.(2) 由(1)可得sinA＝，所以f(x)＝cos2x＋sinAsinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2＋，x∈R.因为sinx∈[－1，1]，所以当sinx＝时，f(x)取最大值；当sinx＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为.考向❷  形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的三角函数的最值　例2　已知函数f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx＋1.(1) 求当函数f(x)取得最大值时，x的取值集合；(2) 当x∈时，求f(x)的值域．解析：(1) 因为f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx＋1＝2cosx－sin2x＋sinxcosx＋1＝2cosx(sinx＋cosx)－sin2x＋sinx·cosx＋1　＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x＋1＝sin2x＋cos2x＋1＝2(sin2x＋cos2x)＋1＝2sin＋1.由2x＋＝2kπ＋，k∈Z，可得x＝kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)取得最大值时，x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．(2) 由x∈，得2x＋∈，所以≤sin(2x＋)≤1，所以＋1≤f(x)≤3，故f(x)的值域为[＋1，3]．【注】 对于三角函数最值问题，通常将表达式化为形如y＝Af(ωx＋φ)＋B的形式，确定变量x取值的集合通常由等式ωx＋φ＝2kπ＋θ，k∈Z解出x.已知函数f(x)＝sin＋2cos2ωx－1(ω>0)的最小正周期为π.(1) 求ω的值；(2) 求f(x)在区间上的最大值和最小值．解析：(1) 因为f(x)＝sin＋2cos2ωx－1＝＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝π，解得ω＝1.(2) 由(1)得f(x)＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值为1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值为－.　 【变式题】 已知函数f(x)＝sin＋cosx.(1) 求f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时，x的集合；(2) 若α∈，f＝，求f(2a)的值．解析：(1) f(x)＝sin＋cosx＝sinx＋cosx＝＝sin，所以f(x)max＝.此时，x＋＝2kπ＋，k∈Z，即x＝2kπ＋，k∈Z.故当f(x)取得最大值3时，x的集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．(2) 由f＝sin(α＋)＝，　得sin＝，所以cosα＝，sinα＝，α∈，所以f(2α)＝sin＝＝[×2sinαcosα＋×(2cos2α－1)]＝×[×2××＋×(2×－1)]＝×＝.考向❸  三角函数最值问题常见的其他函数形式例3　(1) 已知x∈(0，π)，求函数y＝sinx＋的最小值；(2) 已知θ∈(0，π)，求函数y＝的最大值；(3) 求函数y＝(sinx－2)(cosx－2)的最大值与最小值．解析：(1) 设sinx＝t(0<t≤1)，则原函数可化为y＝t＋，在(0，1]上为减函数，故当t＝1时，ymin＝3.(2) 因为θ∈(0，π)，所以sinθ∈(0，1]，y＝≤＝，当且仅当sinθ＝时等号成立，故ymax＝.(3) 原函数可化为y＝sinxcosx－2(sinx＋cosx)＋4，令sinx＋cosx＝t(|t|≤)，则sinxcosx＝，所以y＝－2t＋4＝(t－2)2＋.因为对称轴为直线t＝2∉[－，]，且函数在区间[－，]上是减函数，所以当t＝，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymin＝－2；当t＝－，即x＝2kπ－(k∈Z)时，ymax＝＋2.　【注】 (1) 直接利用三角函数的有界性，并直接利用基本不等式去求解．(2) 首先是对分数函数的一般的处理方式，然后回到(1)的步骤去解决．y＝sinx＋型三角函数求最值，当sinx>0，a>1时，不能用均值不等式求最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．(3) 含有“正、余弦三姐妹”，即含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx＝t，|t|≤，将sinxcosx转化为关于t的函数关系式，从而转化为二次函数的最值问题，在转化过程中尤其要注意新变量t的范围的确定．【变式题】 (1)  求函数y＝的最小值；(2)  若0<x<，求函数y＝(1＋)(1＋)的最小值．解析：(1)  y＝＝－1≥，所以最小值为.(2) y＝＝1＋，令t＝sinx＋cosx，t∈(1，]，则sinxcosx＝，　所以y＝1＋＝＝＝1＋，由1<t≤，得y≥3＋2，所以函数的最小值为3＋2. 　自测反馈　1. 函数y＝2sin－cos(x∈R)的最小值是__－1__．解析：因为cos＝sin，所以y＝2sin－cos＝2sin－sin＝－sin.因为x∈R，所以ymin＝－1.2. 函数y＝sinx在区间[0，b]上恰好取得2个最大值，则实数b的取值范围是____．解析：因为函数y＝sinx的周期为＝6，函数y＝sinx在区间[0，b]上恰好取得2个最大值，则实数b满足≤b<，解得≤b<.故实数b的取值范围为.3. 函数y＝的值域是__[－1，1]__．解析：2y＋ysinx＝cosx，ysinx－cosx＝－2y，得sin(x＋φ)＝－2y，sin(x＋φ)＝，则||≤1，解得－1≤y≤1.4. 函数f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx的值域是．解析：令t＝sinx＋cosx＝sin，则t∈[－，]，t2＝1＋2sinxcosx，则sinxcosx＝，则f(x)＝sinx＋cosx＋sinxcosx＝t＋＝(t2＋2t－1)＝(t＋1)2－1.因为－≤t≤，所以f(x)∈[－1，＋]． 1. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；②形如y＝asin2x＋bcos x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 2. 你还有哪些体悟，写下来：