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    2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第31课__三角形中的有关问题

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    2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第31课__三角形中的有关问题

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    ____31__三角形中的有关问题____会利用三角恒等变换及正、余弦定理并结合三角函数解决三角形中的有关问题.1. 阅读:必修5517页;必修41638页;必修4103122页.2. 解悟:正余弦定理的内容是什么?你会证明吗?你能用几种方法证明?正弦定理的变形式有哪些?利用正、余弦定理分别可以解决哪些类型的斜三角形问题;常用的三角形面积公式有哪些?三角函数中的同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角、辅助角公式等还记得吗?能熟练运用吗?重解必修4116页例4和例5,重解必修59页例4,体会方法和规范.3. 践习:在教材空白处,完成必修4 112113页习题第1215题;第117118页习题第46题;必修511页习题第78题;第17页习题第513题;第21页习题第6题;第24页习题第67. 基础诊断 1. ABC中,cosB=-cosC,则sinA____解析:由题意得sinBsinC,则sinAsin(BC).2. ABC中,已知点D在边BC上,ADACsinBACAB3AD3,则BD的长为____. 解析:因为ADACsinBAC,所以cosBADsinBD2AB2AD22AB·ADcosBAD3,所以BD.3. ABC中,内角ABC所对的边分别为abc,若,则ABC的形状是__直角三角形__解析:由,得,所以sincosAsinBcosB,所以sin2Asin2B,所以2A2B2A2Bπ.因为cosAcosB,所以AB,所以ABC是直角三角形.4. 在锐角三角形ABC中,内角ABC所对的边分别为abc,若A2B,则的取值范围是__()__解析:因为A2B,由正弦定理 2cosB.因为ABCπ,所以Cπ3B.因为ABC是锐角三角形,所以ABC,所以B,所以() 范例导航 考向  辅角公式在三角形中的应用1 在ABC中,a2c2b2ac.(1) 求角B的大小;(2) cosAcosC的最大值.解析:(1) 由余弦定理及题设得cosB.因为0<B<π,所以B.(2) (1)AC所以cosAcosCcosAcoscosAcosAsinAcosAsinAcos.因为0<A<,所以-<A<.A0,即A时, cosAcosC取得最大值1.ABC中,已知(sinAsinBsinC)(sinBsinCsinA)3sinBsinC.(1) 求角A的大小;(2) sinBcosC的最大值.解析:(1) 因为(sinAsinBsinC)(sinBsinCsinA)3sinBsinC, 由正弦定理得(abc)(bca)3bc所以b2c2a2bccosA.因为0<A<π,所以A.(2) ABC所以sinBcosCsinBcossinBsin.因为0<B<所以<B<B,即B时,sinBcosC取得最大值为1.【注 本例突出训练运用公式acosαbsinαsinφ),注意三角形中角的范围. 考向  三角恒等变形与解三角形2 在ABC中,内角ABC所对的边分别为abc.已知bsinAacos. (1) 求角B的大小;(2) a2c3,求bsin(2AB)的值.解析:(1) ABC中,由正弦定理,可得bsinAasinB,又由bsinAacosasinBacossinBcos(B),可得tanB.又因为B(0π),可得B.(2) ABC中,由余弦定理及a2c3Bb2a2c22accosB7,故b.bsinAacos,可得sinA. 因为a<c,故cosA所以sin2A2sinAcosAcos2A2cos2A1所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB××.已知ABC的内角ABC所对的边分别为abcsin(AC)8sin2.(1) cosB(2) ac6ABC面积为2,求b值.解析:(1) 方法一:由题设及ABCπsinB8sin2,故sinB4(1cosB)上式两边平方,整理得 17cos2B32cosB150,解得 cosB1(舍去)cosB.方法二:由题设及ABCπsinB8sin2,所以2sincos8sin2.sin0,所以tancosB.(2) cosBsinBSABCacsinBac.SABC2,则ac由余弦定理及ac6b2a2c22accosB(ac)22ac(1cosB)362××4,所以b2.【注】 本例突出两角和与差及二倍角公式在解三角形中的应用.考向  三角形中的最值问题3 已知abc分别为ABC三个内角ABC的对边,acosCasinCbc0.(1) 求角A的大小;(2) a2ABC的面积为,求bc的值;(3) a2,求ABC的面积的最大值.解析:(1) 根据正弦定理2R,得a2RsinAb2RsinBc2RsinC.因为acosCasinCbc0所以(2RsinA)cosC(2RsinA)sinC2RsinB2RsinC0sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.由三角形内角和定理得sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC代入式得sinAcosCsinAsinCsinAcosCcosAsinCsinC0化简得sinAsinCcosAsinCsinC.因为sinC0,所以sinAcosA1sin0<A<π,-<A<从而A,解得A.(2) a2ABC的面积为.又由(1)A化简得解得b2c2.(3) 方法一:因为a2b2c22bccosA所以4b2c2bc2bcbcbc所以SbcsinAbc(当且仅当bc时取等号)方法二:由正弦定理所以bsinBcsinC所以SbcsinAbcsinbc·sinsinCsinsinCsinsin(sin2BsincosB)sin.因为B,所以2B.2B,即 B时,Smax.在锐角三角形ABC中,角ABC所对的边分别为abc,且(b2c2a2)tanAbc.(1) 求角A的大小;(2) a2,求ABC面积S的最大值.解析:(1) 由已知得(b2c2a2)bc.又由余弦定理cosA所以sinA.ABC是锐角三角形,所以A.(2) Aa2代入(b2c2a2)bcb2c2bc4.因为b2c22bc,所以bc42bcbc4,当且仅当bc2时取等号.所以SABCbcsinAbc所以ABC面积的最大值为.【注】 本例重点学习三角形面积最值的两种处理方法:(1) 由余弦定理及基本不等式求最值;(2) 由正弦定理化归成同名同角三角函数求最值,注意角的范围.【变式题】 在例3(3)中求ABC周长的取值范围.解析:由(3)的方法二知bcabc2sinBsinC2(sinBsinC)224sin2.因为B所以B所以4sin2(46]所以ABC的周长的取值范围为(46] 自测反馈 1. ABC中,角ABC所对的边分别为abc,若cos2,则ABC的形状为__直角三角形__解析:因为cos2,所以,解得cosB,由余弦定理得,所以a2c2b22a2,即a2b2c2,所以ABC为直角三角形.2. 已知abc分别为ABC的三个内角ABC的对边,a2(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,则ABC面积的最大值为____解析:由a2(2b)(sinAsinB)(cb)sinC,即(ab)(sinAsinB)(cb)·sinC由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c所以b2c2a2bccosA,所以A60°b2c24bc4b2c2bcbc,当且仅当bc2时取等号,所以SABCbcsinA.3. ABC中,角ABC所对的边分别为abc,且=-,则角B的大小为____解析:由题意及正弦定理可知-=-,整理2sinAcosB=-sin(BC)=-sinA.因为sinA0,所以cosB=-.又因为B(0π),所以B.4. 如图,在ABC中,ABC90°ABBC1PABC内一点,BPC90°.(1) PB,则PA____(2) APB150°,则tanPBA____. 解析:(1) 由已知得PBC60°,所以PBA30°.PBA中,由余弦定理得PA232×××cos30°,故PA.(2) PBAα,由已知得PBsinα,在PBA中,由正弦定理得,化简得cosα4sinα,所以tanα,即tanPBA.1. 解综合题要观察每个已知条件的特点,找到它们的联系,这是解题的关键.2. 恒等变形是基本功,变形的方向是关键,能在三角形这一特定背景下研究三角恒等变形,会借助于正余弦定理统一的化成边或角.3. 一般地,能用正弦定理解的三角形问题,也可用余弦定理去解.在具体的解题过程中,可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式.4. 三角形中范围或最值问题有两种处理方法:用正弦定理转化成函数求范围,注意三角形中角的范围;用余弦定理建立等量关系,再用基本不等式求最值.注意使用基本不等式的条件.想一想具体题目如何选择?5. 你还有哪些体悟,写下来:                                                                        
     

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