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2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第31课__三角形中的有关问题
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____第31课__三角形中的有关问题____会利用三角恒等变换及正、余弦定理并结合三角函数解决三角形中的有关问题.1. 阅读:必修5第5~17页;必修4第16~38页;必修4第103~122页.2. 解悟:①正余弦定理的内容是什么?你会证明吗?你能用几种方法证明?正弦定理的变形式有哪些?利用正、余弦定理分别可以解决哪些类型的斜三角形问题;②常用的三角形面积公式有哪些?③三角函数中的同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角、辅助角公式等还记得吗?能熟练运用吗?④重解必修4第116页例4和例5,重解必修5第9页例4,体会方法和规范.3. 践习:在教材空白处,完成必修4 第112~113页习题第12、15题;第117~118页习题第4、6题;必修5第11页习题第7、8题;第17页习题第5、13题;第21页习题第6题;第24页习题第6、7题. 基础诊断 1. 在△ABC中,cosB=-,cosC=,则sinA=____.解析:由题意得sinB=,sinC=,则sinA=sin(B+C)=.2. 在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为____. 解析:因为AD⊥AC,sin∠BAC=,所以cos∠BAD=sin=,BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=3,所以BD=.3. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若==,则△ABC的形状是__直角三角形__.解析:由=,得=,所以sinA·cosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π.因为cosA≠cosB,所以A+B=,所以△ABC是直角三角形.4. 在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=2B,则的取值范围是__(,)__.解析:因为A=2B,由正弦定理 =得===2cosB.因为A+B+C=π,所以C=π-3B.因为△ABC是锐角三角形,所以A,B,C∈,所以B∈,所以∈(,). 范例导航 考向❶ 辅角公式在三角形中的应用例1 在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1) 求角B的大小;(2) 求cosA+cosC的最大值.解析:(1) 由余弦定理及题设得cosB==.因为0<B<π,所以B=.(2) 由(1)知A+C=,所以cosA+cosC=cosA+cos=cosA-cosA+sinA,=cosA+sinA=cos.因为0<A<,所以-<A-<.当A-=0,即A=时, cosA+cosC取得最大值1.在△ABC中,已知(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC.(1) 求角A的大小;(2) 求sinB-cosC的最大值.解析:(1) 因为(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC-sinA)=3sinBsinC, 由正弦定理得(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,cosA=.因为0<A<π,所以A=.(2) 由A=得B+C=,所以sinB-cosC=sinB-cos=sinB-=sin.因为0<B<,所以<B+<,当B+=,即B=时,sinB-cosC取得最大值为1.【注】 本例突出训练运用公式acosα+bsinα=sin(α+φ),注意三角形中角的范围. 考向❷ 三角恒等变形与解三角形例2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos. (1) 求角B的大小;(2) 设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析:(1) 在△ABC中,由正弦定理=,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos得asinB=acos,即sinB=cos(B-),可得tanB=.又因为B∈(0,π),可得B=.(2) 在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,得b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.由bsinA=acos,可得sinA=. 因为a<c,故cosA=,所以sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=,所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=×-×=.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin(A+C)=8sin2.(1) 求cosB;(2) 若a+c=6,△ABC面积为2,求b值.解析:(1) 方法一:由题设及A+B+C=π,sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB),上式两边平方,整理得 17cos2B-32cosB+15=0,解得 cosB=1(舍去),cosB=.方法二:由题设及A+B+C=π,sinB=8sin2,所以2sincos=8sin2.又sin≠0,所以tan=,cosB==.(2) 由cosB=得sinB=,故S△ABC=acsinB=ac.又S△ABC=2,则ac=,由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××=4,所以b=2.【注】 本例突出两角和与差及二倍角公式在解三角形中的应用.考向❸ 三角形中的最值问题例3 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+asinC-b-c=0.(1) 求角A的大小;(2) 若a=2,△ABC的面积为,求b,c的值;(3) 若a=2,求△ABC的面积的最大值.解析:(1) 根据正弦定理===2R,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.因为acosC+asinC-b-c=0,所以(2RsinA)cosC+(2RsinA)sinC-2RsinB-2RsinC=0,即sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0.①由三角形内角和定理得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入①式得sinAcosC+sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0,化简得sinAsinC-cosAsinC=sinC.因为sinC≠0,所以sinA-cosA=1,即sin=,而0<A<π,-<A-<,从而A-=,解得A=.(2) 若a=2,△ABC的面积为.又由(1)得A=,则化简得解得b=2,c=2.(3) 方法一:因为a2=b2+c2-2bccosA,所以4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,所以S=bcsinA=bc≤(当且仅当b=c时取等号).方法二:由正弦定理==得===,所以b=sinB,c=sinC,所以S=bcsinA=bcsin=bc=·sinB·sinC=sinB·sinC=sinB·sin=(sin2B+sinB·cosB)=sin+.因为B∈,所以2B-∈.当2B-=,即 B=时,Smax=.在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b2+c2-a2)tanA=bc.(1) 求角A的大小;(2) 若a=2,求△ABC面积S的最大值.解析:(1) 由已知得(b2+c2-a2)=bc.又由余弦定理cosA=,所以sinA=.又△ABC是锐角三角形,所以A=.(2) 将A=,a=2代入(b2+c2-a2)=bc得b2+c2=bc+4.因为b2+c2≥2bc,所以bc+4≥2bc即bc≤4,当且仅当b=c=2时取等号.所以S△ABC=bcsinA=bc≤,所以△ABC面积的最大值为.【注】 本例重点学习三角形面积最值的两种处理方法:(1) 由余弦定理及基本不等式求最值;(2) 由正弦定理化归成同名同角三角函数求最值,注意角的范围.【变式题】 在例3(3)中求△ABC周长的取值范围.解析:由(3)的方法二知b+c+a=b+c+2=sinB+sinC+2=(sinB+sinC)+2=+2=4sin+2.因为B∈,所以B+∈,所以4sin+2∈(4,6],所以△ABC的周长的取值范围为(4,6]. 自测反馈 1. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos2=,则△ABC的形状为__直角三角形__.解析:因为cos2=,所以=,解得cosB=,由余弦定理得=,所以a2+c2-b2=2a2,即a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形.2. 已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为____.解析:由a=2且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,即(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)·sinC,由正弦定理得(a+b)(a-b)=(c-b)c,所以b2+c2-a2=bc,故cosA==,所以A=60°,又b2+c2-4=bc,4=b2+c2-bc≥bc,当且仅当b=c=2时取等号,所以S△ABC=bcsinA≤.3. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=-,则角B的大小为____.解析:由题意及正弦定理可知-=-=,整理得2sinAcosB=-sin(B+C)=-sinA.因为sinA≠0,所以cosB=-.又因为B∈(0,π),所以B=.4. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1) 若PB=,则PA=____;(2) 若∠APB=150°,则tan∠PBA=____. 解析:(1) 由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2×××cos30°=,故PA=.(2) 设∠PBA=α,由已知得PB=sinα,在△PBA中,由正弦定理得=,化简得cosα=4sinα,所以tanα=,即tan∠PBA=.1. 解综合题要观察每个已知条件的特点,找到它们的联系,这是解题的关键.2. 恒等变形是基本功,变形的方向是关键,能在三角形这一特定背景下研究三角恒等变形,会借助于正余弦定理统一的化成边或角.3. 一般地,能用正弦定理解的三角形问题,也可用余弦定理去解.在具体的解题过程中,可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式.4. 三角形中范围或最值问题有两种处理方法:①用正弦定理转化成函数求范围,注意三角形中角的范围;②用余弦定理建立等量关系,再用基本不等式求最值.注意使用基本不等式的条件.想一想具体题目如何选择?5. 你还有哪些体悟,写下来: