2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第44课__直线与圆的位置关系

第44课　直线与圆的位置关系(1)

1. 理解直线与圆的位置关系，会利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，能够根据所给关系解决相关问题.

2. 熟练掌握圆的几何性质的运用，通过数形结合解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等问题，体会用代数法处理几何问题的思想.

1. 阅读：必修2第112～114页.

2. 解悟：①了解直线和圆有哪些位置关系；用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？试用数学语言进行表述；②已知圆心到直线的距离为d，试写出直线与圆相交形成的弦AB的长度；③求切线方程及切线长度的注意点和具体方法是什么？

3. 践习：在教材空白处完成必修2第115页练习第1、5、6题.

　基础诊断　

1. 已知直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝　或－3　.

解析：将圆化为标准方程(x－1)2＋y2＝3，所以圆心(1，0)，半径r＝.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，所以圆心到直线x－y＋m＝0的距离等于半径，即＝，解得m＝或－3.

2. 若过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为　2x－y＝0　Ｗ.

解析：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx.圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1，2)，半径r＝1.又因为直线与圆相交所得的弦长为2，为直径，所以直线y＝kx过圆心，所以k＝2，直线方程为2x－y＝0.

3.  已知直线3x－4y＋a＝0与圆x2－4x＋y2－2y＋1＝0有公共点，则实数a的取值范围是　[－12，8]　.

解析：将圆化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心(2，1)，半径为2.因为直线与圆有公共点，设圆心到直线的距离为d，所以d≤r，即≤2，解得－12≤a≤8.

4. 若圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是　　.

解析：原问题可转化为圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4和圆x2＋y2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d＝＝，所以2－1<<2＋1，解得－<a<0.

　范例导航　

考向❶  直线与圆的位置关系问题

例1　分别求当正数a取何值时，直线x＋y－2a＋1＝0与圆x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0：

(1) 相切；(2) 相离；(3) 相交.

解析：将圆方程x2＋y2－2ax＋2y＋a2－a＋1＝0化为标准方程，得(x－a)2＋(y＋1)2＝a，圆心坐标为(a，－1)，

圆心到已知直线的距离为d＝＝，半径为r＝.

(1) 当d＝r，＝，即a＝2时，直线与圆相切.

(2) 当d>r，>，即a>2时，直线与圆相离.

(3) 当d<r，<，即0<a<2时，直线与圆相交.

已知圆C：x2＋y2＝8，定点P(4，0)，直线l过点P且倾斜角为α.

(1) 若直线l与圆C相切，则α的取值范围是　　；

(2) 若直线l与圆C相交，则α的取值范围是　∪　；

(3) 若直线l与圆C相离，则α的取值范围是　　.

　　解析：因为直线l过点P(4，0)，设直线l：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，则圆心到直线l的距离为d＝.　

(1) 若直线l与圆C相切，则d＝＝2，解得k＝1或k＝－1，所以倾斜角为或.

(2) 若直线l与圆C相交，则d＝<2，解得－1<k<1，所以倾斜角范围为∪.

(3) 当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为，此时直线l与圆C相离；当直线的斜率存在时，则d＝>2，解得k>1或k<－1，所以倾斜角为∪，综上，倾斜角的取值范围为.

考向❷  直线与圆的交点及弦长问题

例2　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.

(1) 证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

(2) 求直线l被圆C截得的最短弦长.

解析：方法一：

(1) 联立方程组 ①

消去y并整理，得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0. ②

因为Δ＝(2－4k)2＋4(k2＋1)·7>0恒成立，所以方程②总有两个不相等的实数根，

即方程组①有两组解，即直线与圆总有两个交点，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

(2) 由(1)知，直线与圆总有两个不同的交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由②式知x1＋x2＝，x1x2＝－，

所以直线l被圆C截得的弦长

AB＝

＝|x1－x2|

＝

＝

＝2＝2.

令t＝，则tk2－4k－3＋t＝0，当t＝0时，k＝－，此时AB＝2；

当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16＋4t(3－t)≥0，解得－1≤t≤4(t≠0)，

故t的最大值为4，此时AB取得最小值2.

综上，直线l被圆C截得的最短弦长为2.

方法二：(1) 圆心C(1，－1)到已知直线l的距离为d＝，圆C的半径r＝2，

r2－d2＝12－＝.

令t＝11k2－4k＋8＝11＋≥>0，

从而r2－d2>0，即d<r，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

(2) 由平面几何知识，得直线l被圆C截得的弦长：AB＝2＝2，下同方法一.

方法三：(1) 已知圆的圆心C(1，－1)，半径r＝2，

直线l：y＝kx＋1经过定点P(0，1)，

因为PC＝＝<2＝r，所以点P(0，1)在圆的内部，

所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.

(2) 由平面几何知识，得过圆内定点P(0，1)的弦，只有和PC垂直时最短，

所以P(0，1)为弦AB的中点，由勾股定理，得AB＝2＝2，

故直线l被圆C截得的最短弦长为2.

在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝　　Ｗ.

解析：因为点M在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5上，圆心C(－1，2)，所以直线l与直线MC垂直，所以直线MC平行于直线ax＋y－1＝0，所以－a＝＝－，即a＝.

考向❸  直线与圆相切问题

例3　已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点.

(1)  若AM⊥l，过点A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小；

(2)  若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围.

解析：(1)  圆M的圆心M(1，1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，而AM⊥l，

所以kAM＝1，所以直线AM的方程为y＝x.

由解得即A(3，3).

如图，连结MP，

因为∠PAM＝∠PAQ，sin∠PAM＝＝＝，

所以∠PAM＝45°，所以∠PAQ＝90°.

(2)  过A(a，b)作AD，AE，分别与圆M相切于D，E两点.

因为∠DAE≥∠BAC，

所以要使圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，只要作∠DAE≥60°.

因为AM平分∠DAE，所以只要30°≤∠DAM<90°，即≤sin∠DAM<1，

即≥，

且<1.

又a＋b－6＝0，解得1≤a≤5，

即点A横坐标的取值范围是[1，5].

已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.

解析：将圆C的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以C(1，1)，半径r＝1.

因为四边形PACB面积S＝2××PA×AC＝PA＝，

所以当PC取最小值时，四边形PACB的面积S取最小值.

因为P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，所以PC最小即为圆心到直线的距离，即PCmin＝＝＝3，所以四边形PACB面积最小值为S＝2.

　自测反馈　

1. 已知过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2＝3截得的弦长为2，则直线l的方程为　x＝－1或3x－4y－5＝0　.

解析：由题意得圆心到所求直线的距离为1，当直线斜率不存在时，直线为x＝－1，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，所以＝1，解得k＝，所以直线l的方程为3x－4y－5＝0.综上，直线l的方程为x＝－1或3x－4y－5＝0.

2. 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC，BD，则四边形ABCD的面积为　10　Ｗ.

解析：将圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心为(1，3)，半径为.因为点E在圆内，所以过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过点E且与直径AC垂直的弦，则AC＝2，BD＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为AC·BD＝10.

3. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是　(－13，13)　.

解析：由题意知圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2.因为圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，所以圆心到直线的距离小于1，即<1，所以－13<c<13.

4. 从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为　　.

解析：将圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心坐标(1，1)，半径为1.由题意知过点P(3，2)的两条切线斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，所以圆心到切线的距离等于半径，即＝1，解得k＝0或k＝.设两直线的夹角为α，所以tanα＝，所以cosα＝＝，即两条切线夹角的余弦值为.

1. 直线与圆有相离、相切、相交三种关系，可以用直线和圆的方程联立方程组，消去y后观察二次方程的Δ即可，若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离.

2. 用点到直线的距离公式可以写出圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系：若d>r，则直线和圆相离；若d<r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线与圆相切.

3. 弦长与切线长问题往往转化为弦心距、点到切线的距离与半径，利用直角三角形处理.

4. 你还有哪些体悟，写下来：