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    2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第54课平面向量的基本定理与坐标运算

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    2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案:第54课平面向量的基本定理与坐标运算

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    54课 平面向量的基本定理与坐标运算1. 了解平面向量的基本定理及其意义.2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1. 阅读:必修47481.2. 解悟:平面向量基本定理;平面向量的坐标表示;结合第78页例4能得到什么一般性的结论吗?3. 践习:在教材空白处,完成第82页习题第716. 基础诊断 1. 设向量(23),且点A的坐标为(23),则点B的坐标为 (46) .解析:设点B的坐标为(xy)(xy)(23)(x2y3),所以解得故点B的坐标为(46).2. 已知向量a(11)b(11)c(42),则用向量ab表示向量c 3ab.解析:设cxayb,所以(42)x(11)y(11)(xyxy),所以解得c3ab.3. 如图所示,设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,给出下列向量组:.其中,可作为该平面内其他向量的基底的是 ①③ .(填序号)解析:因为不共线,所以可以作为该平面内其他向量的基底;因为共线,所以不可作为该平面内其他向量的基底,故选①③.4. 已知向量a(31)b(13)c(k7),若(ac)b,则k 5 .  解析:由题意得ac(3k17)(3k,-6).因为(ac)b,所以3(3k)(6)×10,解得k5. 范例导航 考向  平面向量的基本定理1 如图所示,在OCB中,C是以A为中点的点B的对称点,D是将分为21两部分的一个内分点,DCOA交于点E,设ab.(1) ab表示向量(2)  λ,求实数λ的值. 解析:(1)  由题意知,ABC的中点,且.由平行四边形法则得2所以22ab.(2ab)b2ab.(2) 由图可知,共线,所以存在实数t,使t.因为(2ab)λa(2λ)ab2ab所以(2λ)ab2tatb所以解得λ.故实数λ的值为.ABC中,P为边BC上一点,且. (1)  为基底表示  解析:因为,所以(),所以,即.(2)  为基底表示  .解析:.考向  平面向量的坐标运算2 已知向量a(32)b(12)c(41).(1) 求满足ambnc的实数mn的值;(2) (akc)(2ba),求实数k的值;(3) d满足(dc)(ab),且|dc|,求d的坐标.解析:(1) 由题意得(32)m(12)n(41)所以解得m的值为n的值为.(2) akc(34k2k)2ba(52)由题意得2×(34k)(5)×(2k)0解得k=-.(3) d(xy),则dc(x4y1).ab(24)|dc|所以解得所以d的坐标为(3,-1)(53).已知点A(23)B(54)C(108),若λ(λR),则当点P在第二象限时,λ的取值范围为  .解析:设点P的坐标为(xy).因为λ,所以(x2y3)(31)λ(85)(38λ15λ),所以因为点P在第二象限,所以解得-<λ<.考向  平面向量基本定理的综合应用3 如图,已知ABC的面积为14DE分别为边ABBC上的点,且ADDBBEEC21AECD交于点P.设存在λμ,使得λμab.(1)  λμ的值;(2)  ab表示(3)  PAC的面积.解析:(1) 因为ab所以abab.又因为λλ(ab)μμaμ所以aμλ所以解得(2) =-a=-ab.(3) ABCPABPBC的高分别为hh1h2.因为h1h||||μ所以SPABSABC8.又因为h2h||||1λ所以SPBCSABC2所以SPACSABCSAPBSPBC4.ab是一组基底,向量cxayb(xyR),则称(xy)为向量c在基底ab下的坐标,现已知向量α在基底p(1,-1)q(21)下的坐标为(22)α在另一组基底m(11)n(12)下的坐标为 (02) .解析:因为α在基底pq下的坐标为(22)α=-2p2q=-2(1,-1)2(21)(24).αxmyn(24)x(11)y(12)(xyx2y)所以解得所以α在基底mn下的坐标为(02). 自测反馈 1. 已知ab不共线,且cλabda(2λ1)b,若cd同向,则实数λ的值为 1 .解析:因为cd同向,所以设ckd(k>0),所以λabk[a(2λ1)b]kak(2λ1)b,所以解得λ1λ=-.因为k>0,所以λ1. 2.  已知点A(13)B(4,-1),则与同方向的单位向量为  .析:由题意得,(3,-4),所以||5,所以与同方向的单位向量e(3,-4).3. 如图,已知||||1的夹角为120°的夹角为30°,若λμμR),则 2 .解析:如图,根据平行四边形法则将向量沿方向进行分解.由题意可知OCD90°,所以在RtOCD中,sinCODsin 30°,所以2.4. 已知平行四边形ABCDA(10)B(30)C(1,-5),则点D的坐标为 (3,-5) .解析:由题意可知,.设点D的坐标为(xy),所以(x1y)(2,-5),所以解得故点D的坐标为(3,-5).1. 向量的线性运算(加法、减法、实数与向量的积)可转化为坐标运算,借助坐标运算讨论平行共线、向量表示等,可使问题简单,目标明确.2. 应用等价转化思想处理问题,如点共线转化为向量共线,基底的转化等.3. 你还有哪些体悟,写下来:                                                                        
     

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