2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第68课直线与平面平行

第68课　直线与平面平行

1. 了解直线与平面的位置关系.

2. 理解直线与平面平行的判定定理与性质定理.

1. 阅读：必修2第32～34页.

2. 解悟：①直线和平面的位置关系，注意直线与平面相交也称直线在平面外；②读懂线面平行的判定定理和性质定理.

3. 践习：在教材空白处，完成第34页练习第1题；第35页练习第3、4题.

　基础诊断　

1. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为　平行　.

解析：如图，连结AC，BD交于点O，连结OE.因为OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

2. 已知两条不重合的直线a，b和平面α.

①若a∥α，b⊂α，则a∥b；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.

上述命题中正确的是　④　.(填序号)

解析：①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面，故①错误；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交或异面，故②错误；③若a∥b，b⊂α，则a⊂α或a∥α，故③错误；④正确.

3. 过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有　6　条.

解析：如图，各中点连线中只有平面EFGH与平面ABB1A1平行，即在四边形EFGH中有6条直线符合题意.

4. 下列命题中正确的是　④　.(填序号)

①若a，b是两条直线，且a∥b，则a平行于经过b的任何平面；

②若直线a和平面α满足a∥α，则a与α内的任何直线平行；

③平行于同一条直线的两个平面平行；

④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄a，则b∥α.

解析：①直线a可能在经过b的平面内，故①错误；②直线a还可以与平面α内的直线异面，故②错误；③平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故③错误；过直线a作平面β，交平面α于直线c.因为a∥α，所以a∥c.因为a∥b，所以b∥c.因为b⊄α，且c⊂α，所以b∥α，故④正确.

　范例导航　

考向❶  直线与平面平行的判定

例1　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，且A1M＝AN＝a.

(1) 求证：MN∥平面BB1C1C；

(2) 求MN的长.

解析：(1) 作MP∥AB，NQ∥AB，分别交BB1，BC于点P，Q，连结PQ，由作图可得PM∥QN.

因为A1M＝a，＝，得PM＝a.

同理QN＝a，所以PM∥QN，PM＝QN，

所以四边形PQNM是平行四边形，

所以MN∥PQ.

因为MN⊄平面BB1C1C，PQ⊂平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C.

(2) 因为BP＝PM＝a，CQ＝QN＝a，

所以BQ＝a，

所以在Rt△PBQ中，PQ＝a，

所以MN＝PQ＝a.

【注】 这里证明线面平行，就是将直线MN平移到平面BB1C1C中，要注意体会平移的方向和距离，构造的辅助面是哪一个.

如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，BC＝AD，E，F分别为AD，PC的中点.求证：AP∥平面BEF.

解析：连结EC，AC，AC交BE于点O，连结OF.

因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AE且BC＝AE，

所以四边形ABCE是平行四边形，

所以O为AC的中点.

因为F是PC的中点，所以FO∥AP.

因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

所以AP∥平面BEF.

【注】 这里辅助线的由来，就是将点C视为投影中心，构造辅助面CPA找到了平面内的那条“线”.

考向❷  直线与平面平行的判定和性质的综合运用

例2　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB的中点，过A，N，D三点的平面交PC于点M.求证：

(1) PD∥平面ANC；

(2) M是PC的中点.

解析：(1) 连结BD，设BD∩AC＝O，连结NO.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以O是BD的中点.

因为N是PB的中点，

所以PD∥NO.

又NO⊂平面ANC，PD⊄平面ANC，

所以PD∥平面ANC.

(2) 因为底面ABCD为平行四边形，

所以AD∥BC.

因为BC⊄平面ADMN，AD⊂平面ADMN，

所以BC∥平面ADMN.

因为平面PBC∩平面ADMN＝MN，

所以BC∥MN.

又N是PB的中点，所以M是PC的中点.

【注】 不论是用判定定理，还是用性质定理，目光要聚焦在辅助平面上，这样，要找的“线”才能从复杂的背景图形中凸显出来

求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么该直线与这两个相交平面的交线平行.

解析：已知：a∥α，a∥β，且α∩β＝b.

求证：a∥b.

证明：如图，在平面α内任取一点A，且使A∉b.

因为a∥α，A∉a，

故点A和直线a确定一个平面γ，设γ∩α＝m.

同理，在平面β内任取一点B，且使B∉b，

则点B和直线a确定一个平面δ，

设δ∩β＝n.

因为a∥α，a⊂γ，γ∩α＝m，

所以a∥m.

同理可得a∥n，所以m∥n.

因为m⊄β，n⊂β，

所以m∥β.

因为m⊂α，α∩β＝b，

所以m∥b.

因为a∥m，所以a∥b.

　自测反馈　

1. 已知下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线.

其中真命题的序号为　④　.

解析：①因为直线l与平面内无数条直线平行，l可能在平面α内，故①错误；②直线a在平面α外包括两种情况，a∥α和a与平面α相交，故②错误；③若直线a∥b，b⊂α，则a可能在平面α内，故③错误；④因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a平行于平面α内的无数条直线，故④正确.

2. 设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是　②　.(填序号)

①若l∥α，l∥β，则α∥β；

②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；

③若l⊥α，l∥β，则α∥β；

④若α⊥β，l∥α，则l∥β.

解析：①若l∥α，l∥β，则α，β可能相交，故①错误；②正确；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故③错误；④若α⊥β，l∥α，则l与β可能相交，可能平行，也可能直线l在平面β内，故④错误.故选②

3. 下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是　①③　.(写出所有符合要求的图形序号)

①              ②               ③              　④

解析：①因为平面MNP与AB所在的平面平行，所以AB∥平面MNP；②设下底面的中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行；③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP；④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行.故填①③.

1. 运用线面平行的判定定理和性质定理时，都涉及“线线平行”，即平面外的直线与平面内的直线平行.需要思考的是：这里的“线”与“线”实质上一定是共面的！因此，用判定定理“找线”通常要通过找平面来实现，找到了辅助面，辅助面与已知平面的“交线”必定是要找的“线”.

2. 找(造)辅助面的方法通常有：一是平行投影法，如例1；二是中心投影法，如例1的跟踪练习，可视点C为投影中心.例2又是用什么方法找的哪一个辅助面？

3. 你还有哪些体悟，请写下来：