2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第84课演绎推理

第84课演 绎 推 理　　

1. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.

2. 了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

1. 阅读：文科：选修12第36～39页；理科：选修22第70～72页.

2. 解悟：①熟悉并搞清以下概念：大前提、小前提、结论，试举例说明；②演绎推理的特点是什么？对比归纳、类比的特点，它们有什么不同？③三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.

3. 践习：在教材空白处，完成以下题目：文科选修12第39页、理科选修22第72页，练习第3、4题.

　基础诊断　

1. 函数y＝2x2＋x＋1的图象是一条抛物线，用三段论表示为　大前提：二次函数的图象是一条抛物线；小前提：函数y＝2x2＋x＋1是二次函数；结论：函数y＝2x2＋x＋1的图象是一条抛物线　.

2. 将以下三段论补充完整：

　垂直于同一个平面的两条直线平行 　(大前提)，a⊥α，b⊥α(小前提)，a∥b(结论).

3. 若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝　2 020　Ｗ.

解析：因为f(a＋b)＝f(a)＋f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，令b＝1，则f(a＋1)＝f(a)f(1)＝2f(a)，所以＝2，所以＋＋…＋＝2×1 010＝2 020.

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考向   运用演绎推理证明结论

例1　如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB＝BA＝2MA.

求证：(1) 平面AMD∥平面BPC；

(2) 平面PMD⊥平面PBD.

解析：(1) 因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA.

因为PB⊂平面BPC，MA⊄平面BPC，

所以MA∥平面BPC. 

同理，DA∥平面BPC.

因为MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD＝A，

所以平面AMD∥平面BPC. 

(2) 连结AC交BD于点E，取PD的中点F，连结EF，MF. 

因为四边形ABCD是正方形，所以E为BD的中点.

因为F为PD的中点，所以EF∥PB，EF＝PB.

又AM∥PB，AM＝PB，

所以AM＝EF，AM∥EF，所以四边形AMFE为平行四边形，所以MF∥AE.

因为PB⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以PB⊥AE，所以MF⊥PB.

因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

所以MF⊥BD. 

又PB∩BD＝B，PB，BD⊂平面PBD，

所以MF⊥平面PBD.

又MF⊂平面PMD，

所以平面PMD⊥平面PBD.

 已知实数a≠0，且函数f(x)＝a(x2＋1)－有最小值－1，试证明a＝1.

解析：f(x)＝a(x2＋1)－＝ax2－2x＋a－， 因为函数f(x)有最小值－1，所以a>0，且最小值a－＝－1， 即a2＋a－2＝0，所以a＝1或a＝－2(舍去)，故a＝1.

例2　将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数y＝f(x)(x∈D)，对任意x，y，∈D均满足f≥[f(x)＋f(y)]，当且仅当x＝y时等号成立.

(1) 若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)∈M，试比较f(3)＋f(5)与2f(4)的大小；

(2) 设函数g(x)＝－x2，求证：g(x)∈M.

解析：(1) 因为函数y＝f(x)(x∈D)，对任意x，y，∈D均满足f≥[f(x)＋f(y)]，

所以令x＝3，y＝5代入f≥[f(x)＋f(y)]，得[f(3)＋f(5)]≤f(4)，

所以f(3)＋f(5)≤2f(4). 

(2) 因为g(x)＝－x2，

所以g－[g(x1)＋g(x2)]＝－＋＝≥0，

所以g≥[g(x1)＋g(x2)]，

所以g(x)∈M. 

设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，n∈N*.

(1)  求数列{an}的通项公式；

(2)  设数列{a}的前n项和为Tn，求；

(3)  判断数列{3n－an}中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

解析：(1)  当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)＝2an－2an－1，即an＝2an－1.

因为a1≠0，所以＝2，从而数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.

(2)  因为a＝(2n)2＝4n，所以＝4，

故数列{a}是以4为首项，4为公比的等比数列，

从而S2n＝＝2(4n－1)，

Tn＝＝(4n－1)，所以＝.

(3)  不存在.

假设数列{3n－an}中存在三项成等差数列，不妨设第m，n，k(m<n<k)项成等差数列，

则2(3n－an)＝3m－am＋3k－ak，

即2(3n－2n)＝3m－2m＋3k－2k.

因为m<n<k，且m，n，k∈N*，所以n＋1≤k.

因为2(3n－2n)＝3m－2m＋3k－2k≥3m－2m＋3n＋1－2n＋1，

所以－3n≥3m－2m，不等式不成立.

综上所述，数列{3n－an}中不存在三项成等差数列.

　自测反馈　

1. 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是　③　Ｗ.(填序号)

①使用了归纳推理；

②使用了类比推理；

③使用了“三段论”，但推理形式错误；

④使用了“三段论”，但小前提错误.

解析：因为大前提：“有些有理数是无限循环小数”不是全称命题，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误.

2. 因为指数函数y＝ax是增函数，y＝是指数函数，则y＝是增函数，这个结论是错误的，这是因为　大前提　错误. (填“大前提”“小前提”或“推理形式”)

解析：因为当a>1时，函数y＝ax是一个增函数，当0<a<1时，函数y＝ax是一个减函数，所以指数函数y＝ax是增函数这个大前提是错误的.

3. 如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D上的任意x1，x2，…，xn，都有≤f.如果y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是　　Ｗ.

解析：因为y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，A＋B＋C＝π，所以≤sin＝sin＝，所以sinA＋sinB＋sinC≤.

4. 设m为实数，利用三段论求证：关于x的方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.

解析：形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，当b2－4ac>0时，方程有两个相异实根，因为方程x2－2mx＋m－1＝0满足(－2m)2－4(m－1)＝4m2－4m＋4＝(2m－1)2＋3>0，所以方程x2－2mx＋m－1＝0有两个相异实根.

1. 演绎推理是由一般到特殊的推理，只要演绎推理的大前提、小前提和推理形式是正确的，其结论一定是正确的.

2. 应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简捷，若大前提是显然的，则可以省略.

3. 你还有哪些体悟，写下来：