2021版物理提能大一轮复习课标版文档：第二章　第2讲　力的合成与分解 学案

第2讲　力的合成与分解

一、力的合成

1.合力与分力

(1)定义:如果一个力① 产生的效果 跟几个力共同作用产生的效果相同,这一个力就叫那几个力的② 合力 ,那几个力就叫这个力的③ 分力 。 

(2)关系:合力和分力是一种④ 等效替代 关系。 

2.力的合成:求几个力的⑤ 合力 的过程。 

3.力的运算法则

(1)三角形定则:把两个矢量⑥ 首尾相连 从而求出合矢量的方法。(如图所示) 

(2)平行四边形定则:求互成角度的⑦ 两个力 的合力,可以用表示这两个力的线段为邻边作⑧ 平行四边形 ,这两个邻边之间的对角线就表示合力的⑨ 大小 和⑩ 方向 。 

二、力的分解

1.力的分解

(1)定义:求一个力的 分力 的过程。力的分解是 力的合成 的逆运算。 

(2)遵循的原则: 平行四边形 定则或三角形定则。 

2.力的效果分解法

(1)根据力的 实际作用效果 确定两个实际分力的方向; 

(2)再根据两个实际分力的方向画出 平行四边形 ; 

(3)最后由数学知识求出两分力的大小。

3.正交分解法

(1)定义:将已知力按 互相垂直 的两个方向进行分解的方法。 

(2)建立坐标轴的原则:以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)。

1.判断下列说法对错。

(1)合力与它的分力的作用对象为同一个物体。(√)

(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。(✕)

(3)几个力的共同作用效果可以用一个力来代替。(√)

(4)在进行力的合成与分解时,都要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)

(5)两个力的合力一定比其分力大。(✕)

(6)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(✕)

2.(多选)将物体所受重力按力的效果进行分解,下列图中正确的是(　　)

2.答案　ABD

3.两个力F1和F2间的夹角为θ,两力的合力为F。以下说法正确的是(　　)

A.若F1和F2大小不变,θ角越小,合力F就越小

B.合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大

C.如果夹角θ不变,F1大小不变,只要F2增大,合力F一定增大

D.合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同作用产生的效果是相同的

3.答案　D

4.(多选)(2019广东深圳联考)一个大人拉着载有两个小孩的小车(其拉杆可自由转动)沿水平地面匀速前进,则对小孩和车的下列说法正确的是(　　)

A.拉力的水平分力等于小孩和车所受的合力

B.拉力与摩擦力的合力大小等于车和小孩重力大小

C.拉力与摩擦力的合力方向竖直向上

D.小孩和车所受的合力为零

4.答案　CD

考点一　力的合成

1.共点力合成的常用方法

(1)作图法:从力的作用点起,按同一标度作出两个分力F1和F2的图示,再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形,画出过作用点的对角线,量出对角线的长度,计算出合力的大小,量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。

(2)计算法:几种特殊情况的共点力的合成。

　　(3)力的三角形定则:将表示两个力的线段保持原来的方向依次首尾相接,从第一个力的起点,到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图所示。

2.重要结论

(1)两个分力大小一定时,夹角θ越大,合力越小。

(2)合力一定,两等大分力的夹角越大,两分力越大。

(3)合力可以大于分力,等于分力,也可以小于分力。

1.如图所示为两个大小不变、夹角θ变化的力的合力的大小F与θ角之间的关系图像(0≤θ≤2π),下列说法中正确的是(　　)

A.合力大小的变化范围是0≤F≤14 N

B.合力大小的变化范围是2 N≤F≤10 N

C.这两个分力的大小分别为6 N和8 N

D.这两个分力的大小分别为2 N和8 N

答案　C　由题图可知:当两力夹角为180°时,两力的合力为2 N,而当两力夹角为90°时,两力的合力为10 N。则这两个力的大小分别为6 N、8 N,故C项正确,D项错误;当两个力方向相同时,合力大小等于两个力大小之和,为14 N,当两个力方向相反时,合力大小等于两个力大小之差,为2 N,由此可见合力大小的变化范围是2 N≤F≤14 N,故A、B项错误。

2.2018年10月23日,港珠澳跨海大桥正式通车。为保持以往船行习惯,在航道处建造了单面索(所有钢索均处在同一竖直面内)斜拉桥,其索塔与钢索如图所示。下列说法正确的是(　　)

A.增加钢索的数量可减小索塔受到的向下的压力

B.为了减小钢索承受的拉力,可以适当降低索塔的高度

C.索塔两侧钢索对称且拉力大小相同时,钢索对索塔的合力竖直向下

D.为了使索塔受到钢索的合力竖直向下,索塔两侧的钢索必须对称分布

答案　C　每根钢索对索塔的拉力可分解为水平分力和竖直向下的分力,竖直方向上,索塔受到的向下的压力大小等于钢索和桥面的总重力,故增加钢索数量不能减小索塔受到的向下的压力,A错;降低索塔高度,钢索的水平倾角减小,钢索所受拉力反而会增大,B错;不论两侧钢索是否对称分布,只要两侧钢索的水平分力相互抵消,钢索对索塔的合力就会竖直向下,C对,D错。

3.(多选)一物体位于光滑水平面上,同时受到三个水平共点力F1、F2和F3的作用,其大小分别为F1=42 N、F2=28 N、F3=20 N,且F1的方向指向正北,下列说法中正确的是(　　)

A.这三个力的合力可能为零

B.F1、F2两个力的合力大小可能为20 N

C.若物体处于匀速直线运动状态,则F2、F3的合力大小为48 N,方向指向正南

D.若物体处于静止状态,则F2、F3的合力大小为42 N,方向指向正南

答案　ABD　F1、F2的合力范围是|F1-F2|≤F≤F1+F2,即14 N≤F≤70 N,选项B正确;F3的大小处于此范围之内,所以这三个力的合力可能为零,选项A正确。若物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动状态),则某两个力的合力必定与第三个力等大反向,故选项C错误,D正确。

考点二　力的分解

1.力的分解常用的方法

　　2.力的分解方法选取原则

(1)选用哪一种方法进行力的分解要视情况而定,一般来说,当物体受到三个或三个以下的力时,常按实际效果进行分解,若这三个力中,有两个力互相垂直,可选用正交分解法。

(2)当物体受到三个以上的力时,常用正交分解法。

　　例　(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可。一游僧见之曰:无烦也,我能正之。”游僧每天将木楔从塔

身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图所示,木楔两侧产生推力FN,则(　　)

A.若F一定,θ大时FN大 　B.若F一定,θ小时FN大

C.若θ一定,F大时FN大 　D.若θ一定,F小时FN大

答案　BC　本题考查力的分解。如图所示,把力F分解在垂直于木楔两侧的方向上,根据力的作用效果可知,F1=F2=FN=,由此式可见,B、C项正确,A、D项错。

考向1　力的分解中的多解性讨论

1.已知两个共点力的合力为50 N,分力F1的方向与合力F的方向成30°角,分力F2的大小为30 N。则(　　)

A.F1的大小是唯一的 B.F2的方向是唯一的

C.F2有两个可能的方向 D.F2可取任意方向

答案　C　由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出:因F2=30 N>F20=25 N且F2<F,所以F1的大小有两个,即F1'和F1″,F2的方向有两个,即F2'的方向和F2″的方向,故选项A、B、D错误,选项C正确。

考向2　效果分解法

2.(2019课标Ⅲ,16,6分)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件,为使工件保持固定,将其置于两光滑斜面之间,如图所示,两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上,倾角分别为30°和60°。重力加速度为g。当卡车沿平直公路匀速行驶时,圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2,则(　　)

A.F1=mg,F2=mg B.F1=mg,F2=mg

C.F1=mg,F2=mg D.F1=mg,F2=mg

答案　D　以工件为研究对象,受力分析如图所示,重力与F1、F2的合力等大反向,根据共点力平衡条件得=cos 30°,=cos 60°,则F1=mg,F2=mg,故只有D选项正确。

考向3　正交分解法

3.如图所示,墙上有两个钉子a和b,它们的连线与水平方向的夹角为45°,两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点,另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物,在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码,平衡后绳的ac段正好水平,则重物和钩码的质量之比m1∶m2为(　　)

A.∶1 B.2∶1 C.∶2 D.∶1

答案　C　解法一　力的效果分解法

甲

钩码对绳圈的拉力F等于钩码的重力m2g,将F沿ac和bc方向分解,两个分力分别为Fa、Fb,如图甲所示,其中Fb=m1g,由力的矢量三角形可得cos θ==,又由几何关系得cos θ=,联立解得m1∶m2=∶2。

解法二　正交分解法

乙

绳圈受到Fa、Fb和钩码的拉力F三个力作用,如图乙所示,将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解,由竖直方向受力平衡得m1g cos θ=m2g;由几何关系得cos θ=,联立解得m1∶m2=∶2。

考向4　极值问题的分析

4.(2019河北唐山期中)如图所示,将一根长为l的细绳一端固定在O点,另一端悬挂质量为m的小球A,为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧,小球A处于静止状态,对小球施加的最小的力是(重力加速度为g)(　　)

A.mg B.mg C.mg D.mg

答案　C　将小球的重力分解如图,其中一个分力等于施加的力的大小。施加的力与OA垂直时最小,Fmin=mg sin 30°=mg,C项正确。

方法技巧力的分解中的多解问题

对称法解决非共面力问题

　　对称法的应用

解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性,结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程,求解结果。

　　1.如图是悬绳对称且长度可调的自制降落伞。用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验,悬绳的长度l1<l2,匀速下降时每根悬绳的拉力大小分别为F1、F2,则(　　)

A.F1<F2 B.F1>F2

C.F1=F2<G D.F1=F2>G

答案　B　物体受重力和n根悬绳拉力作用处于平衡状态,由对称性可知,每根悬绳拉力沿竖直方向的分力为,设绳与竖直方向的夹角为θ,则有F cos θ=,解得F=,由于无法确定n cos θ是否大于1,故无法确定拉力F与重力G的关系,C、D错误;悬绳较长时,夹角θ较小,故拉力较小,即F1>F2,A错误,B正确。

2.(多选)(2019山东潍坊青州检测)如图所示(俯视),完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上处于静止状态,每个足球的质量都是m,不考虑转动情况,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)

　　A.下面每个球对地面的压力均为mg

B.下面的球不受地面给的摩擦力

C.下面每个球受地面给的摩擦力均为mg

D.上面球对下面每个球的压力均为mg

答案　AD　以四个球整体为研究对象,受力分析可得3FN=4mg,可知下面每个球对地面的压力均为F'N=FN=mg,A项正确;隔离上面的球进行分析,由几何关系可得,下面每个球对上面的球的弹力与竖直方向的夹角的余弦值为,正弦值为,则3F1·=mg,F1=mg,D项正确;由牛顿第三定律可知,上面球对下面球的作用力F1'=F1,隔离下面一个球分析,Ff=F'1·=mg,B、C项错误。

1.(多选)(2019福建厦门模拟)我国不少地方在节日期间有挂红灯笼的习俗,如图所示,质量为m的灯笼用两根不等长的轻绳OA、OB悬挂在水平天花板上,OA比OB长,O为结点。重力加速度大小为g,设OA、OB对O点的拉力分别为FA、FB,轻绳能够承受足够大的拉力,则(　　)

A.FA小于FB

B.FA、FB的合力大于mg

C.调节悬点A的位置,可使FA、FB都大于mg

D.换质量更大的灯笼,FB的增加量比FA的增加量大

1.答案　ACD　对结点O受力分析,画出力的示意图如图,由图可知,FA小于FB,FA、FB的合力等于mg,选项A正确,B错误;调节悬点A的位置,当∠AOB大于某一值时,FA、FB都大于mg,选项C正确;换质量更大的灯笼,则重力mg增大,FB的增加量比FA的增加量大,选项D正确。

2.如图所示,甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶,已知甲的拉力大小为800 N,方向与航向夹角为30°,乙的拉力大小为400 N,方向与航向夹角为60°,要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶,则丙用力最小为(　　)

A.与F甲垂直,大小为400 N

B.与F乙垂直,大小为200 N

C.与河岸垂直,大小约为746 N

D.与河岸垂直,大小为400 N

2.答案　C　甲、乙两人的拉力大小和方向一定,其合力为如图所示的F,要保持小船在河流中间沿题图所示虚线方向直线行驶,F与F丙的合力必沿题图中虚线方向,F丙与题图中虚线垂直时值最小,由图可知,F丙min=F乙 sin 60°+F甲 sin 30°=200 N+400 N≈746 N,C项正确。

3.(2019广东深圳调研)如图所示,用缆绳将沉在海底的球形钢件先从a处竖直吊起到b,再水平移到c,最后竖直下移到d。全过程,钢件受到水的阻力大小不变,方向与运动方向相反,所受浮力恒定。则上升、平移、下降过程中的匀速运动阶段,缆绳对钢件拉力F1、F2、F3的大小关系是(　　)

A.F1>F2>F3 B.F1>F3>F2

C.F2>F1>F3 D.F3>F2>F1

3.答案　A　因为均做匀速运动,处于平衡状态,设浮力大小为F,阻力大小为f,上升阶段F1=mg+f-F,平移阶段F2 sin α=f,F2 cos α=mg-F,F2=,下降阶段F3+f=mg-F,F3=mg-f-F,所以F1>F2>F3,所以A正确,B、C、D错误。

4.(2019河南焦作月考)小明想推动家里的衣橱,但使出了很大的力气也推不动,他便想了个妙招,如图所示,用A、B两块木板,搭成一个底角较小的人字形架,然后往中央一站,衣橱居然被推动了!下列说法中正确的是(　　)

A.这是不可能的,因为小明根本没有用力去推衣橱

B.这是不可能的,因为无论如何小明的力气也没那么大

C.这有可能,A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力

D.这有可能,但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力

4.答案　C　根据小明所受重力产生的效果,将小明的重力分解为沿两个木板方向的分力,由于两个木板夹角接近180°,根据平行四边形定则可知,分力远大于小明的重力,选项C正确。

5.如图,两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上;一细线穿过两轻环,其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时,a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为(　　)

A. B.m  C.m D.2m

5.答案　C　由于物块通过挂钩悬挂在线上,细线穿过圆环且所有摩擦都不计,可知线上各处张力都等于小球重力mg。如图所示,由对称性可知a、b位于同一水平线上,物块处于圆心O点正上方,则∠1=∠2,∠3=∠4,∠1=∠5。因圆弧对轻环的弹力沿圆弧半径方向,且轻环重力不计,由平衡条件知,环两侧细线关于圆弧半径对称,则∠5=∠6,由几何关系得∠1=∠2=∠5=∠6=30°,∠3=∠4=60°。再由物块受力平衡有mg cos 60°+mg cos 60°=Mg,故有M=m,C正确。

6.如图所示,一个“Y”形弹弓顶部跨度为L,两根相同的橡皮条自由长度均为L,在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成囊片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律,且劲度系数为k,发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内),则发射过程中囊片对弹丸的最大作用力为(　　)

A.kL B.2kL C.kL D.kL

6.答案　D　橡皮条的长度最长时,如图甲所示,由几何关系知

甲

乙

cos θ==

弹丸受力如图乙所示

弹丸受力的最大值为F'=2F cos θ

而F=k(2L-L),则F'=kL,D正确。

7.如图所示是轿车常用的千斤顶,当摇动把手时,螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢,从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N,此时千斤顶两臂间的夹角为120°。下列判断正确的是(　　)

A.此时千斤顶每臂受到的压力大小均为5.0×104 N

B.此时千斤顶对汽车的支持力为1.0×104 N

C.若继续摇动把手,将汽车顶起,千斤顶每臂受到的压力将增大

D.若继续摇动把手,将汽车顶起,千斤顶每臂受到的压力将减小

7.答案　D　车轮刚被顶起时,千斤顶两臂支持力的合力为千斤顶对汽车的支持力,等于汽车对千斤顶的压力,大小为1.0×105 N,B项错误;两臂夹角为120°,由力的合成可知千斤顶每臂受到的压力为1.0×105 N,A项错误;继续摇动把手,将汽车顶起,千斤顶两臂间夹角减小,每臂受到的压力减小,D项正确,C项错误。

8.如图所示,一质量为m的沙袋用不可伸长的轻绳悬挂在支架上,一练功队员用垂直于绳的力将沙袋缓慢拉起使绳与竖直方向的夹角为θ=30°,且绳绷紧,则练功队员对沙袋施加的作用力大小为(重力加速度为g)(　　)

A.   B.mg    C.mg D.mg

8.答案　A　建立如图所示直角坐标系,对沙袋进行受力分析。将F和FT正交分解,有:

F cos 30°-FT sin 30°=0

FT cos 30°+F sin 30°-mg=0

联立解得F=,故选项A正确。

9.(多选)如图所示,质量分别为m1、m2的两个物体A、B通过轻弹簧连接,在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(A在地面,B在空中),力F与水平方向成θ角。则A所受支持力N和摩擦力f为(重力加速度为g)(　　)

A.N=m1g+m2g-F sin θ

B.N=m1g+m2g-F cos θ

C.f=F cos θ

D.f=F sin θ

9.答案　AC　对系统(A、B)进行受力分析并建立直角坐标系,如图所示,在x轴f=F cos θ,C对,D错;在y轴N+F sin θ-(m1+m2)g=0,所以N=(m1+m2)g-F sin θ,A对,B错。

10.一重为G的圆柱体工件放在V形槽中,槽顶角α=60°,槽与工件接触处的动摩擦因数处处相同且大小为μ=0.25,则:(sin 37°=0.6, cos 37°=0.8)

(1)要沿圆柱体的轴线方向(如图)水平地把工件从槽中拉出来,人要施加多大的拉力?

(2)现把整个装置倾斜,使圆柱体的轴线与水平方向成37°角,且保证圆柱体对V形槽两侧面的压力大小相等,发现圆柱体能自动沿槽下滑,求此时工件和槽之间的摩擦力大小。

10.答案　(1)0.5G　(2)0.4G

解析　(1)分析圆柱体的受力可知,沿轴线方向受到拉力F、两个侧面对圆柱体的滑动摩擦力,由题给条件知,F=f合。将重力进行分解如图

因为α=60°,所以G=F1=F2

由f合=μF1+μF2,得F=0.5G

(2)把整个装置倾斜,则工件重力压紧斜面的分力F1'=F2'=G cos 37°=0.8G,此时工件和槽之间的摩擦力大小f'=2μF1'=0.4G

11.如图所示,两个小球a、b质量均为m,用细线相连并悬挂于O点,现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F,使整个装置处于静止状态,且Oa与竖直方向夹角为 θ=45°,已知弹簧的劲度系数为k,重力加速度为g,则弹簧形变量不可能是　(　　)

A.    B. C. D.

11.答案　B　对a球进行受力分析,利用图解法可判断当弹簧上的拉力F与细线垂直时,拉力F最小,为2mg sin θ=mg,再根据胡克定律得,最小形变量Δx=,则形变量小于是不可能的,由图可知在条件允许的情况下,拉力可以一直增大。则可知B项不可能。

12.(多选)(2019东北三校联考)如图所示,在倾角为α的光滑斜面上放一个重为G的小球,并用光滑的挡板挡住,挡板与斜面的夹角为θ(最初θ<α),挡板从图示位置以O为轴逆时针缓慢转至水平,在此

过程中小球始终处于平衡状态,当挡板对小球的弹力大小等于小球的重力时,θ的大小可以为(　　)

A.α   B.2α

C.π-α D.π-2α

12.答案　AC　重力沿垂直于挡板和斜面方向分解,两个分力大小分别等于挡板和斜面对小球的弹力,以表示重力的线段末端为圆心,该线段长为半径画辅助圆,如图甲所示,由几何知识得θ=α时,挡板对小球的弹力大小等于小球的重力;当挡板转到水平时,挡板对小球的弹力大小等于小球的重力,如图乙所示,θ=π-α,故A、C正确。

13.(多选)如图所示,两相同物块分别放置在对接的两固定斜面上,物块处在同一水平面内,之间用细绳连接,在绳的中点加一竖直向上的拉力F,使两物块处于静止状态,此时绳与斜面间的夹角小于90°。当增大拉力F后,系统仍处于静止状态,下列说法正确的是(　　)

A.绳受到物块的拉力变大

B.物块与斜面间的摩擦力变小

C.物块对斜面的压力变小

D.物块受到的合力不变

13.答案　ACD　F增大,由于两段绳间的夹角不变,故两段绳受到物块的拉力增大,A项正确。对其中任意一个物块进行受力分析,在沿斜面方向上,绳的拉力的分量与物块重力的分量之和等于静摩擦力;在垂直斜面方向上,物块重力的分量等于斜面对物块的支持力与绳的拉力的分量之和,由于绳的拉力增大,故静摩擦力变大,支持力变小,则物块对斜面的压力变小,B项错误,C项正确。物块仍处于静止状态,所受合力仍为0,故D项正确。

14.(多选)如图,粗糙水平面上a、b、c、d四个相同小物块用四根完全相同的轻弹簧连接,正好组成一个等腰梯形,系统静止。ab之间、ac之间以及bd之间的弹簧长度相同且等于cd之间弹簧长度的一半,ab之间弹簧弹力大小为cd之间弹簧弹力大小的一半。若a受到的摩擦力大小为f,则(　　)

A.ab之间的弹簧一定是压缩的

B.b受到的摩擦力大小为f

C.c受到的摩擦力大小为f

D.d受到的摩擦力大小为2f

14.答案　ABC　设每根弹簧的原长为L0,ab之间弹簧的形变量为Δx1,cd之间弹簧的形变量为Δx2,则有kΔx2=2kΔx1,若ab之间的弹簧也是被拉长,则有L0+Δx2=2(L0+Δx1),解得L0=0,不符合题意,所以ab之间的弹簧被压缩,A正确;由于a受到的摩擦力大小为f,根据对称性可得,b受到的摩擦力大小也为f,B正确;以a和c为研究对象进行受力分析如图所示,图中的θ为ac与cd之间的夹角,则 cos θ==,所以θ=60°,则∠cab=120°,a受到的摩擦力大小f=T;对c根据力的合成可得fc=f,所以C正确;由于c受到的摩擦力大小为f,根据对称性可知,d受到的摩擦力大小也为f,D错误。