2021版高考物理大一轮复习通用版教师用书：第6章第1节　动量和动量定理

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第1节　动量和动量定理

一、动量、动量的变化量、冲量

1．动量

(1)定义：运动物体的质量和速度的乘积叫作物体的动量，通常用p来表示。

(2)表达式：p＝mv。

(3)单位：kg·m/s。

(4)标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同。

2．动量的变化量

(1)因为动量是矢量，动量的变化量Δp也是矢量，其方向与速度的改变量Δv的方向相同。

(2)动量的变化量Δp的大小，一般用末动量p′减去初动量p进行计算，也称为动量的增量。即Δp＝p′－p。

3．冲量

(1)定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量。

公式：I＝F·t。

(2)单位：冲量的单位是牛·秒，符号是N·s。

(3)方向：冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向相同。

二、动量定理

1．内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。

2．表达式：Ft＝Δp＝p′－p。

3．矢量性：动量变化量的方向与合外力的方向相同，可以在某一方向上应用动量定理。

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)物体的动能变化时，动量一定变化。 (√)

(2)两物体的动量相等，动能也一定相等。 (×)

(3)动量变化量的大小不可能等于初、末状态动量大小之和。 (×)

(4)动量定理描述的是某一状态的物理规律。 (×)

(5)物体所受合外力的冲量方向与物体末动量的方向相同。    (×)

(6)物体所受合外力的冲量方向与物体动量变化的方向相同。 (√)

2．(人教版选修3－5P7[例题1]改编)质量为0.5 kg的物体，运动速度为3 m/s，它在一个变力作用下速度变为7 m/s，方向和原来方向相反，则这段时间内动量的变化量为(　　)

A．5 kg·m/s，方向与原运动方向相反

B．5 kg·m/s，方向与原运动方向相同

C．2 kg·m/s，方向与原运动方向相反

D．2 kg·m/s，方向与原运动方向相同

[答案]　A

3．(人教版选修3－5P11T2改编)一质量为m的物体静止在光滑水平面上，在水平力F作用下，经时间t，通过位移L后，动量变为p，动能变为Ek。若上述过程F不变，物体的质量变为，以下说法正确的是(　　)

A．经过时间2t，物体动量变为2p

B．经过位移2L，物体动量变为2p

C．经过时间2t，物体动能变为4Ek

D．经过位移2L，物体动能变为4Ek

A　[由动量定理得p＝Ft，则经过时间2t，物体的动量p2＝F·2t＝2p，由p2＝2mEk，得物体的动能Ek2＝＝8Ek，选项A正确，C错误；由动能定理Ek＝FL，则经过位移2L，物体的动能Ek2＝F·2L＝2Ek，由p2＝2mEk，得物体的动量p2＝＝p，选项B、D错误。]

4．(人教版选修3－5P11T3改编)质量为4 kg的物体以2 m/s的初速度做匀变速直线运动，经过2 s，动量大小变为14 kg·m/s，则该物体    (　　)

A．所受合外力的大小可能大于11 N

B．所受合外力的大小可能小于3 N

C．冲量大小可能小于6 N·s

D．冲量大小可能大于18 N·s

D　[若以物体初速度方向为正方向，则初动量p1＝mv1＝8 kg·m/s，末动量大小为14 kg·m/s，则有两种可能：当p2＝14 kg·m/s，则Ft＝p2－p1＝6 kg·m/s，F＝3 N；当p2＝－14 kg·m/s，则Ft＝p2－p1＝－22 kg·m/s，F＝－11 N，负号表示方向，故选项A、B、C错误，D正确。]

动量及动量变化量的理解　[依题组训练]

1．下列关于动量的说法正确的是(　　)

A．质量大的物体动量一定大

B．速度大的物体动量一定大

C．两物体动能相等，动量不一定相等

D．两物体动能相等，动量一定相等

C　[动量等于运动物体质量和速度的乘积，动量大小与物体质量、速度两个因素有关，A、B错；由动量大小和动能的表达式得出p＝，两物体动能相等，质量关系不明确，动量不一定相等，D错，C对。]

2．(多选)关于动量的变化，下列说法中正确的是   (　　)

A．做直线运动的物体速度增大时，动量的增量Δp的方向与运动方向相同

B．做直线运动的物体速度减小时，动量的增量Δp的方向与运动方向相反

C．物体的速度大小不变时，动量的增量Δp为零

D．物体做平抛运动时，动量的增量一定不为零

ABD　[当做直线运动的物体的速度增大时，其末态动量p2大于初态动量p1，由矢量的运算法则可知Δp＝p2－p1＞0，与物体运动方向相同，如图(a)所示，所以A选项正确。当做直线运动的物体速度减小时，p2＜p1，如图(b)所示，Δp与p1(或p2)方向相反，与运动方向相反，故B选项正确。当物体的速度大小不变时，其方向可能变化，也可能不变化，故动量可能不变化即Δp＝0，也可能动量大小不变而方向变化，此种情况Δp≠0，故C选项错误。当物体做平抛运动时，速度的大小和方向变化，即动量一定变化，Δp一定不为零，如图(c)所示，故D选项正确。]

3．质量为0.2 kg的球竖直向下以6 m/s的速度落至水平地面，再以4 m/s的速度反向弹回。取竖直向上为正方向，在小球与地面接触的时间内，关于球的动量变化量Δp和合外力对小球做的功W，下列说法正确的是   (　　)

A．Δp＝2 kg·m/s，W＝－2 J

B．Δp＝－2 kg·m/s，W＝2 J

C．Δp＝0.4 kg·m/s，W＝－2 J

D．Δp＝－0.4 kg·m/s，W＝2 J

A　[取竖直向上为正方向，则小球与地面碰撞过程中动量的变化量Δp＝mv2－mv1＝0.2×4 kg·m/s－0.2×(－6) kg·m/s＝2 kg·m/s，方向竖直向上。由动能定理知，合外力做的功W＝mv－mv＝×0.2×42 J－×0.2×62 J＝－2 J。]

(1)动量的两性

①瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻或位置而言的。

②相对性：动量的大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量。

(2)动量与动能的比较

冲量、动量定理的理解及应用　[分考向训练]

1．应用动量定理解释的两类物理现象

(1)当物体的动量变化量一定时，力的作用时间Δt越短，力F就越大，力的作用时间Δt越长，力F就越小，如玻璃杯掉在水泥地上易碎，而掉在沙地上不易碎。

(2)当作用力F一定时，力的作用时间Δt越长，动量变化量Δp越大，力的作用时间Δt越短，动量变化量Δp越小。

2．应用动量定理解题的一般步骤

(1)确定研究对象。中学阶段的动量定理问题，其研究对象一般仅限于单个物体。

(2)对物体进行受力分析。可以先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和；或先求合力，再求其冲量。

(3)抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正、负号。

(4)根据动量定理列方程，如有必要还需要其他补充方程，最后代入数据求解。对过程较复杂的运动，可分段用动量定理，也可整个过程用动量定理。

　动量定理的应用

1．(2019·济宁质检)1998年6月18日，国产轿车在清华大学汽车工程研究所进行的整车安全性碰撞试验取得成功，被誉为“中国轿车第一撞”。在碰撞过程中，关于安全气囊对驾驶员保护作用的说法正确的是(　　)

A．减小了驾驶员的动量变化量

B．减小了驾驶员的动量变化率

C．减小了驾驶员受到撞击力的冲量

D．延长了撞击力的作用时间，从而使得驾驶员的动量变化量更大

B　[在碰撞过程中，驾驶员的动量变化量是一定的，而使用安全气囊后增加了撞击力作用的时间，根据动量定理Ft＝Δp可知，安全气囊可以减小驾驶员受到的冲击力，即减小了驾驶员的动量变化率，故B正确，A、C、D错误。]

2．(2019·全国卷Ⅰ)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×106 N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为(　　)

A．1.6×102 kg B．1.6×103 kg

C．1.6×105 kg D．1.6×106 kg

B　[根据动量定理有FΔt＝Δmv－0，解得＝＝1.6×103 kg/s，所以选项B正确。]

　动量定理与图象的结合

3.(2019·晋中模拟)如图所示，在光滑水平面上有一质量为m的物体，它受到水平向右的力F的作用。力F分别按图A、B、C、D所示的四种方式随时间t变化(图中纵坐标是F与mg的比值，水平向右为正方向)。已知物体在t＝0时速度为零，若用v1、v2、v3、v4分别表示上述四种受力情况下物体在2 s末的速率，则这四个速率中最大的是(　　)

A　[物体运动过程中，受重力、支持力、拉力作用，合力等于拉力，根据动量定理有I＝mv－0，故物体受到冲量最大时，末速度最大，图中 ­t图象与t轴围成的面积与冲量大小成正比，上方冲量为正，下方冲量为负，由于A图中冲量的矢量和最大，故A图受力情况下物体的末速度最大。]

4.质量为1 kg的物体做直线运动，其速度—时间图象如图所示。则物体在前10 s内和后10 s内所受外力的冲量分别是(　　)

A．10 N·s,10 N·s

B．10 N·s，－10 N·s

C．0,10 N·s

D．0，－10 N·s

D　[由图象可知，在前10 s内初、末状态的动量相同，p1＝p2＝5 kg·m/s，由动量定理知I1＝0；在后10 s内末状态的动量p3＝－5 kg·m/s，由动量定理得I2＝p3－p2＝－10 N·s，故选项D正确。]

应用动量定理处理“流体类”问题　[讲典例示法]

[典例示法]　某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：

(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；

(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

审题指导：(1)“质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中”说明水柱对玩具的冲力大小为Mg。

(2)单位时间内喷出的水的质量等于“长为v0、截面积为S的水柱”的质量。

(3)喷口喷出的水向上运动过程中只受重力作用，机械能守恒。

[解析]　(1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则

Δm＝ρΔV ①

ΔV＝v0SΔt ②

由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为

＝ρv0S。 ③

(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得

(Δm)v2＋(Δm)gh＝(Δm)v ④

在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为

Δp＝(Δm)v ⑤

设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有

FΔt＝Δp ⑥

由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得

F＝Mg ⑦

联立③④⑤⑥⑦式得

h＝－。 ⑧

[答案]　(1)ρv0S　(2)－

“流体”类问题求解的基本思路

(1)在极短时间Δt内，取一小柱体作为研究对象。

(2)求小柱体的体积ΔV＝vSΔt

(3)求小柱体质量Δm＝ρΔV＝ρvSΔt

(4)求小柱体的动量变化Δp＝vΔm＝ρv2SΔt

(5)应用动量定理FΔt＝Δp

[跟进训练]

1．(2019·青岛一模)雨打芭蕉是我国古代文学中重要的抒情意象。为估算雨天院中芭蕉叶面上单位面积所承受的力，小玲同学将一圆柱形水杯置于院中，测得10分钟内杯中雨水上升了15 mm，查询得知，当时雨滴落地速度约为10 m/s，设雨滴撞击芭蕉后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m3，据此估算芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为(　　)

A．0.25 N B．0.5 N

C．1.5 N D．2.5 N

A　[设雨滴受到芭蕉叶面对它的平均作用力为F，设在Δt时间内有质量为Δm的雨水的速度由v＝10 m/s减为零。以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：FΔt＝0－(－Δmv)，得：F＝。设水杯横截面积为S，对水杯里的雨水，在Δt时间内水面上升Δh，则有：Δm＝ρSΔh，可得F＝ρSv，由牛顿第三定律可知，芭蕉叶面受到的平均作用力F′＝F，压强为P＝＝ρv＝1×103×10× N/m2＝0.25 N/m2，即芭蕉叶面单位面积上的平均受力约为0.25 N，故选项A正确，B、C、D均错误。]

2．一艘宇宙飞船以v＝1.0×104 m/s的速度进入密度为ρ＝2.0×10－7 kg/m3的微陨石流中，如果飞船在垂直于运动方向上的最大截面积S＝5 m2，且认为微陨石与飞船碰撞后都附着在飞船上。为使飞船的速度保持不变，飞船的牵引力应为多大？

[解析]　设t时间内附着在飞船上的微陨石总质量为Δm，则Δm＝ρSvt ①

这些微陨石由静止至随飞船一起运动，其动量增加是受飞船对其作用的结果，由动量定理有Ft＝Δp＝Δmv              ②

则微陨石对飞船的冲量大小也为Ft，为使飞船速度保持不变，飞船应增加的牵引力为ΔF＝F              ③

综合①②③并代入数值得ΔF＝100 N，即飞船的牵引力应为100 N。

[答案]　100 N