2021届浙江省高考数学一轮学案：第一章第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件


第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求　1.了解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，了解四种命题的相互关系；
2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.

知 识 梳 理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
[常用结论与易错提醒]
若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；
(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；
(3)若A＝B，则p是q的充要条件；
(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若AB且AB，则p是q的既不充分又不必要条件.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)“x2＋2x－3－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.
答案　B
4.(2020·杭州质检)设x∈R，则“x＞2”是“|x|＞2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由|x|＞2得x＞2或x＜－2，所以“x＞2”是“|x|＞2”的充分不必要条件，故选A.
答案　A
5.(2019·北京丰台区期末)能够说明“设a，b是任意非零实数，若＞1，则b＞a”是假命题的一组整数a，b的值依次为________.
解析　要使“设a，b是任意非零实数，若＞1，则b＞a”是假命题，只需满足b＜a＜0且a，b∈Z即可，
可取a＝－1，b＝－2.
答案　－1，－2(答案不唯一)
6.已知命题p：“若a2＝b2，则a＝b”，则命题p的否命题为________，该否命题是一个________命题(填“真”，“假”).
解析　由否命题的定义可知命题p的否命题为“若a2≠b2，则a≠b”.由于命题p的逆命题“若a＝b，则a2＝b2”是一个真命题，∴否命题是一个真命题.
答案　“若a2≠b2，则a≠b”　真

考点一　四种命题的关系及其真假判断
【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(　　)
A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A.真、假、真 B.假、假、真
C.真、真、假 D.假、假、假
解析　(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.
(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.
答案　(1)C　(2)B
规律方法　(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
【训练1】 (1)已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)
A.否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析　(1)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.
因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.
(2)这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意x∈(0，2]都成立 ，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可.如f(x)＝sin x，答案不唯一.
答案　(1)D　(2)f(x)＝sin x(答案不唯一 )
考点二　充分条件与必要条件的判定

【例2】 (1)(2020·杭州三校三联)“2x－y＜1”是“ln＜0”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)(2018·北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　(1)当x＝－1，y＝3时，满足2x－y＜1，但此时ln无意义，充分性不成立；当x＝－1，y＝－2时，满足ln＜0，但此时2x－y＝2＞1，必要性不成立.综上所述，“2x－y＜1”是“ln＜0”的既不充分也不必要条件，故选D.
(2)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则＝，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则＝，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件，故选B.
答案　(1)D　(2)B
规律方法　充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.
【训练2】 (1)(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2019·浙江教育绿色评价联盟三联)已知x，y为实数，则“xy≥0”是“|x＋y|≥|x－y|”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分且必要件条 D.既不充分也不必要条件
解析　(1)∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立.故选C.
(2)由不等式的性质，知|x＋y|≥|x－y|⇔(x＋y)2≥(x－y)2⇔xy≥0，则“xy≥0”是“|x＋y|≥|x－y|”的充分且必要条件.故选C.
答案　(1)C　(2)C
考点三　充分条件、必要条件的应用 变式迁移
【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围.
解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵“x∈P”是“x∈S”的必要条件，
则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，
∴1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，可知当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件.
【变式迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
【变式迁移2】 本例条件不变，若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，∴PS.
∴[－2，10][1－m，1＋m].
∴或
∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞).
规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
(2)要注意区间端点值的检验.
【训练3】 ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________.
解析　当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根x＝－.
当a≠0时，原方程为一元二次方程，
又ax2＋2x＋1＝0只有负实根，
所以有即0＜a≤1.
综上，方程只有负根的充要条件是0≤a≤1.
答案　0≤a≤1

基础巩固题组
一、选择题
1.设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(　　)
A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析　根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.
答案　D
2.(2020·温州适应性考试)已知a，b都是实数，那么“3a＞3b”是“a3＞b3”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　因为3a＞3b⇔a＞b，a3＞b3⇔a＞b，所以“3a＞3b”是“a3＞b3”的充要条件，故选C.
答案　C
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　m⊂α，m∥β α∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
答案　B
4.(2019·金华十校期末调研)已知条件p：x＞1，条件q：＜1，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由题意得p：x＞1，q：＜1，则－1＜0，＜0，解得x＞1或x＜0，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
答案　A
5.(2020·北京朝阳区一模)已知a，b，c∈R，给出下列条件：①a2＞b2；②＜；③ac2＞bc2，则使得a＞b成立的充分而不必要条件是(　　)
A.① B.②
C.③ D.①②③
解析　由①a2＞b2，得|a|＞|b|，不一定有a＞b成立，不符；
对于②，当a＝－1，b＝1时，有＜，但a＞b不成立，所以不符；
对于③，由ac2＞bc2知c≠0，所以有a＞b成立，
当a＞b成立时，不一定有ac2＞bc2，因为c可以为0，符合题意.
答案　C
6.已知p：不等式(ax－1)(x－1)>0的解集为，q：a0的解集为得a|－|，因模为非负数，故不等号两边平方得2＋2＋2||·||cos θ>2＋2－2||·||cos θ (θ为与的夹角)，整理得4||·||·cos θ>0，故cos θ>0，即θ为锐角.反之，易得当与的夹角为锐角时，|＋|>||，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件.故选C.
答案　C
9.(2020·北京大兴区一模)已知数列{an}，则“存在常数，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有＝c”是“数列{an}为等差数列”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　①由已知：“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有＝c”
不妨令m＝n＋1，则有an＋1－an＝c，由等差数列的定义，
可知数列{an}是以c为公差的等差数列，
②由“数列{an}为等差数列”，则an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d(d为公差)，
所以＝＝d，
即存在“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有＝c”，此时c＝d，
综合①②得“存在常数c，对任意的m，n∈N*，且m≠n，都有＝c”是“数列{an}为等差数列”的充分必要条件，故选C.
答案　C
二、填空题
10.已知λ是实数，a是向量，若λa＝0，则λ＝________或a＝________(使命题为真命题).
解析　∵λa＝0，∴λ＝0或a＝0.
答案　0　0
11.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.
解析　cos 2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，
即cos α＝±sin α.
由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.
∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.
答案　充分不必要
12.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________.
解析　“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆命题为“若x＝1，则x2－3x＋2＝0”；否命题为“若x2－3x＋2≠0，则x≠1”；逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.
答案　若x＝1，则x2－3x＋2＝0　若x2－3x＋2≠0，则x≠1　若x≠1，则x2－3x＋2≠0
13.已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x