2021届浙江省高考数学一轮学案：第三章加强练（三）　函数性质的综合应用

加强练(三)　函数性质的综合应用

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.(2020·北京平谷区监控)下列函数中在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A.y＝   B.y＝ln x

C.y＝sin x   D.y＝2－x

解析　对于A，y＝在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意；

对于B，y＝ln x在区间(0，＋∞)上为增函数，符合题意；

对于C，y＝sin x在(0，＋∞)上不是单调函数，不符合题意；

对于D，y＝2－x＝在(0，＋∞)上为减函数，不符合题意.

答案　B

2.(2020·北京朝阳区一模)若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是(　　)

A.(－∞，2)   B.(－∞，2]

C.[0，＋∞)   D.(－∞，0)∪(0，2)

解析　画出函数的图像如图所示，由图可知函数的值域为(－∞，2)，故选A.

答案　A

3.(2019·台州期末评估)设不为1的实数a，b，c满足a＞b＞c＞0，则(　　)

A.logcb＞logab   B.logab＞logac

C.ba＞bc   D.ab＞cb

解析　对于A：当c＝，a＝4，b＝2时，不等式不成立；对于B：当0＜a＜1时，不等式不成立；对于C：当0＜b＜1时，不等式不成立；对于D，不等式两边取自然对数易得D正确，故选D.

答案　D

4.(2019·北京东城区期末)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量，地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为(　　)

A.(1，2)   B.(5，6)

C.(7，8)   D.(15，16)

解析　lg E＝4.8＋1.5M，

∴lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，

lg E2＝4.8＋1.5×7.5＝16.05，

∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，

∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，(100.75)4＝1 000，64＝1 296，∴100.75＜6，

∴的值所在的区间为(5，6).

答案　B

5.(2019·嘉、丽、衢模拟)函数y＝ln(x＋)·cos 2x的图象可能是(　　)

解析　设f(x)＝y＝ln(x＋)·cos 2x，则易得函数的定义域为R，且f(－x)＝ln(－x＋)·cos 2(－x)＝ln·cos 2x＝－ln(x＋)·cos 2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝ln(x＋)·cos 2x为奇函数，则函数图象关于原点中心对称，排除A，B；f′(x)＝·cos 2x－2ln(x＋)·sin 2x＝·cos 2x－2ln(x＋)·sin 2x，f′(0)＝1，即函数f(x)＝ln(x＋)·cos 2x在原点处的切线的斜率为1，不为0，排除C，故选D.

答案　D

6.(2020·浙江名师预测卷一)已知函数f(x)＝kx＋b(k，b∈R且k＞0)与g(x)＝－的图象恒有三个不同的交点，则有(　　)

A.b＜k＋2   B.b＜k－2

C.b＜2k＋2   D.b＜2k－2

解析　由题意知方程f(x)＝g(x)有三个相异实根，即有

或令p(x)＝kx2＋(b＋2k)x＋2b＋1(x＞－2)，h(x)＝kx2＋(b＋2k)x＋2b－1(x＜－2)，因为h(－2)＜0且k＞0，所以h(x)在(－∞，－2)上有唯一零点，故p(x)在(－2，＋∞)上有两个零点，所以则b＜2k－2，故选D.

答案　D

7.(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)

A.f>f(2－)>f(2－)

B.f>f(2－)>f(2－)

C.f(2－)>f(2－)>f

D.f(2－)>f(2－)>f

解析　因为f(x)是定义域为R的偶函数，

所以f＝f(－log34)＝f(log34).

又因为log34>1>2－>2－>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，

所以f(log34)<f(2－)<f(2－).故选C.

答案　C

8.(2018·上海卷)设D是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D上的函数.若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中f(1)的可能取值只能是(　　)

A.   B. 

C.   D.0

解析　点(1，f(1))在直线x＝1上，把直线进行旋转可得旋转后的直线，这样进行下去直到回到(1，f(1))点可知f(1)＝.

答案　B

9.(2020·杭州质检)设a＜0，不等式(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为(　　)

A.1   B. 

C.   D.

解析　当b＞0时，易得存在x∈(0，b)，使得3x2＋a＜0，而在x∈(0，b)上，2x＋b＞0恒成立，所以此时(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上不可能恒成立；当b≤0时，令(3x2＋a)·(2x＋b)＝0，得x＝±或x＝－，在平面直角坐标系内画出函数f(x)＝(3x2＋a)(2x＋b)的大致图象，如图所示，由图易得要使(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则有结合a＜0，解得则当时，b－a取得最大值(b－a)max＝0－＝，故选C.

答案　C

10.(2019·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1).若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析　当－1<x≤0时，0<x＋1≤1，则f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)x；当1<x≤2时，0<x－1≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)；当2<x≤3时，0<x－2≤1，则f(x)＝2f(x－1)＝22f(x－2)＝22(x－2)(x－3)，……由此可得

f(x)＝由此作出函数f(x)的图象，如图所示.

由图可知当2<x≤3时，令22(x－2)(x－3)＝－，整理得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝或x＝，将这两个值标注在图中.要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－，必有m≤，即实数m的取值范围是，故选B.

答案　B

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)

11.(2019·北京顺义区二模)“当c＞1时，能使不等式logac＞logbc”成立的一组正数a，b的值依次为________和________.

解析　当c＞1时，若a＞1，则logac＞0；若0＜b＜1，则logbc＜0，因此可任取a∈(1，＋∞)，b∈(0，1)均能使得不等式成立，可取a＝2，b＝.

答案　2　(答案不唯一)

12.(2020·浙江名师预测卷一)已知a＝lg 2，b＝lg 5，则a＋b＝________，10a＋10b＝________.

解析　a＋b＝lg 2＋lg 5＝1，10a＋10b＝2＋5＝7.

答案　1　7

13.(2020·金华一中月考)已知函数f(x)＝则f＝________；若f(x)＝1，则x＝________.

解析　f＝ln＝－1，则f＝f(－1)＝e－1＝.若x≤0，则ex＝1，解得x＝0；若x＞0，则ln x＝1，解得x＝e.所以使得f(x)＝1成立的x为0或e.

答案　　0或e

14.(2019·北京丰台区期末)已知函数f(x)＝

(1)若a＝0，则函数f(x)的零点有________个；

(2)若存在实数m，使得函数y＝f(x)＋m总有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________.

解析　(1)由得x＝0或x＝，因为无解，

所以函数f(x)的零点有2个.

(2)设y＝－x3＋3x，则y′＝－3x2＋3，

由－3x2＋3＞0，可得y＝－x3＋3x在(－1，1)递增，

由－3x2＋3＜0，可得在(－∞，－1)(1，＋∞)上递减，

函数y＝－x3＋3x在x＝－1有极小值－2，在x＝1有极大值2，

若a＜－1，画出函数y＝f(x)的图象，如图，

由图可知存在m，使得y＝f(x)的图象与y＝－m的图象有三个交点，此时f(x)有三个零点；若－1＜a＜0，画出函数y＝f(x)的图象，如图，

由图可知存在m，使得y＝f(x)的图象与y＝－m的图象有三个交点，此时f(x)有三个零点；若a＞0，画出函数y＝f(x)的图象，如图，

由图可知y＝f(x)的图象与y＝－m的图象最多有两个交点，不合题意；

若a＝－1，y＝f(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，y＝f(x)的图象与y＝－m的图象最多有两个交点，不合题意，

综上可得，实数的取值范围是a＜0且a≠－1.

答案　(1)2　(2)(－∞，－1)∪(－1，0)

15.若关于x的不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m的取值范围为________.

解析　关于x的不等式x2＋mx－2＞0在区间[1，2]上有解，

∴mx＞2－x2在x∈[1，2]上有解，即m＞－x在x∈[1，2]上有解，设函数f(x)＝－x，x∈[1，2]，

∴f′(x)＝－－1＜0恒成立，

∴f(x)在x∈[1，2]上是单调减函数，且f(x)的值域为[－1，1]，要使m＞－x在x∈[1，2]上有解，则m＞－1，即实数m的取值范围是(－1，＋∞).

答案　(－1，＋∞)

16.(2019·浙江新高考仿真卷四)已知函数f(x)＝2x＋t2，g(x)＝x＋t－1，对任意的实数t，关于x的不等式|f(x)|＋|g(x)|＋||f(x)|－|g(x)||≥m恒成立，则实数m的取值范围为________.

解析　设F(x)＝|f(x)|＋|g(x)|＋||f(x)|－|g(x)||＝则|f(x)|＋|g(x)|＋||f(x)|－|g(x)||≥m恒成立等价于m小于等于函数F(x)的最小值，在平面直角坐标系内画出函数y＝|f(x)|＝|2x＋t2|和函数y＝|g(x)|＝|x＋t－1|的图象，由图易得当2x＋t2＝－(x＋t－1)，即x＝－(t2＋t－1)时，F(x)取得最小值为2×＝[(t－1)2＋1]，所以当t＝1时，F(x)取得最小值，则实数m的取值范围为.

答案　

17.(2019·北京顺义区期末)设函数f(x)的定义域为A，如果对于任意的x1∈A都存在唯一的x2∈A，使得f(x1)＋f(x2)＝2m，其中m为常数成立，则称函数f(x)在A上“与常数m相关联”，给定函数①y＝；②y＝x3；③y＝；④y＝ln x；⑤y＝cos x，则在其定义域上与常数1相关联的所有函数是________(只填序号).

解析　若在其定义域上与常数1相关联，则满足f(x1)＋f(x2)＝2，

①y＝的定义域为{x|x≠0}，由f(x1)＋f(x2)＝2得＋＝2，

即＝2－，当x1＝时，2－＝2－2＝0，此时＝0无解，不满足条件；

②y＝x3的定义域为R，由f(x1)＋f(x2)＝2得(x1)3＋(x2)3＝2，

即x＝2－x，故存在唯一的x2满足条件；

③y＝的定义域为R，由f(x1)＋f(x2)＝2得＋＝2；

即＝2－，当x1＝－2时，＝2－＝2－4＝－2无解，不满足条件.

④y＝ln x定义域为{x|x＞0}，由f(x1)＋f(x2)＝2得ln x1＋ln x2＝2得ln x1x2＝2，

即x1x2＝e2；x2＝，故存在唯一的x2满足条件；

⑤y＝cos x的定义域为R，由f(x1)＋f(x2)＝2得cos x1＋cos x2＝2，得cos x2＝2－cos x1，当x1＝时，cos x2＝2－cos x1＝2－0＝2，无解，不满足条件.

故满足条件的函数是②④.

答案　②④