2021届浙江省高考数学一轮学案：第五章第5节　三角函数的化简与求值


第5节　三角函数的化简与求值
考试要求　掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.

知 识 梳 理
1.三角变换
三角变换是重要的代数式变形，变形过程中，不仅需要熟练把握各种三角公式，还需要有一种处理复杂代数式的能力，更需要有一种化归的意识.
2.三角恒等变换中常用的方法技巧
(1)角的变换：在化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，缩小条件与结构中角的差异，使问题获解，此时需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如是 的半角，是的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等.
(2)函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通常化切为弦，变异名为同名.
(3)常数代换：在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数和或积等形式，例如常数“1”的代换变形为：1＝sin2α＋cos2α＝tan 45°＝sin 90°.
(4)幂的变换：升幂和降幂是三角变换中常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法.
(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公
式及其逆用和变形应用.例如sin αcos α＝sin 2α，tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)等.
[常用结论与易错提醒]
(1)辅助角公式：asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，且tan φ＝.
(2)(选用)万能公式：sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.
(3)(选用)三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ，cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ，tan 3θ＝.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)＝tan.(　　)
(2)在半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±中，符号由所在象限决定.(　　)
(3)tan ＝＝.(　　)
(4)cos α＋sin α＝cos(60°＋α).(　　)
解析　cos α＋sin α＝cos 60°cos α＋sin 60°sin α＝cos(60°－α)，(4)不正确.
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.的值是(　　)
A.sin 40° B.cos 40°
C.cos 130° D.±cos 50°
解析　原式＝＝|cos 130°|＝cos 50°＝sin 40°.
答案　A
3.若cos α＝，且α∈[0，π]，则cos ＋sin 的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵α∈[0，π]，cos α＝，∴sin α＝＝，则＝1＋sin α＝1＋，检验知B符合上式.
答案　B
4.若sin＝，则tan2x＝________.
解析　∵sin＝，∴－cos 2x＝，即cos 2x＝－，∴tan2x＝＝＝＝4.
答案　4
5.方程sin x＋cos x＝1在区间[0，2π]上的所有解的和等于________.
解析　sin x＋cos x＝2sin＝1，x∈[0，2π]，解得x1＝，x2＝2π－，∴x1＋x2＝.
答案　
6.定义运算a⊕b＝ab2＋a2b，则sin 15°⊕cos 15°＝________.
解析　由定义运算知sin 15°⊕cos 15°＝sin 15°cos215°＋sin215°cos 15°＝sin 15°cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＝×2sin 15°cos 15°sin(45°＋15°)＝.
答案　

考点一　三角函数式的化简
【例1】 化简.
解　原式＝＝＝＝tan θ.
规律方法　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.
【训练1】 化简＋(sin2α－cos2α).
解　原式＝－cos 2α
＝－cos 2α
＝·－cos 2α
＝sin 2α－cos 2α＝2sin.
考点二　三角函数式的求值　 多维探究
角度1　给角求值
【例2－1】 求值：[2cos 40°＋sin 10°(1＋tan 10°)].
解　原式＝cos 10°·
＝cos 10°·
＝2(cos 40°cos 10°＋sin 10°sin 40°)
＝2cos 30°
＝.
角度2　给值求值

【例2－2】 已知α，β都是锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值.
解　∵α，β都是锐角，cos α＝，∴sin α＝＝，又0